Арифметические операции над натуральными числами

Над натуральными числами можно производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложить два числа, например 5 и 2, значит прибавить к 5 единицу два раза. Полученное число называют суммой и обозначают, а числа 5 и 2 — слагаемыми.

Если одно из слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому, т. е. при любом числе.

. [3].

Чтобы сложить несколько натуральных чисел, то надо сложить сначала два из них, а затем к сумме прибавить следующее натуральное число и т. д. Очевидно, что сумма двух натуральных чисел — натуральное число.

Сложение натуральных чисел подчинено переместительному (коммутативному) закону, т. е. от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

;

и сочетательному закону:

Вычесть из натурального числа a натуральное число b — значит найти такое число x, которое в сумме с числом b даст число a, т. е.

Число называется разностью чисел a и b и обозначается.

.

Число a называется уменьшаемым, а число b — вычитаемым. Из определения и свойств суммы легко понять, что. [3]. Когда у людей возникла необходимость вычитать из меньшего числа большее, стал вопрос о расширении множества натуральных чисел, что и станет толчком в дальнейших рассуждениях. Но пока, именно на множестве натуральных чисел, вычитание возможно лишь в случае, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Разность двух таких чисел — натуральное число. Отметим, что.

Произведением натурального a на натуральное число b, большее 1, называют сумму b слагаемых, каждое из которых равно a, и обозначают.

.

Числа a и b называются множителями. Действие нахождения произведения чисел a и b называют умножением. Произведением числа a на 1 называют самое число a, т. е.

По определению считают, что.

Умножение чисел обладает переместительным законом:

и сочетательным законом:

Это значит, что от перестановки множителей, результат произведения не измениться. [3].

Так же выполняется равенство.

Это равенство называется распределительным законом относительно сложения. Ещё есть равенство, выражающее распределительных закон относительно вычитания:

Результат умножения двух натуральных чисел — натуральное число.

Разделить натуральное число a на натуральное число b — значит найти такое натуральное число c, при умножении которого на число b получается a, т. е.

Если.

.

То.

.

Число называется частным чисел a и b, число a — делимым, b — делителем числа a. Из определения следует, что.

На нуль делить нельзя. [3].

Деление одного натурального числа на другое натуральное число нацело не всегда возможно. А как их разделить, выясним в дальнейшем.