Корреляционный анализ торговой деятельности магазина бытовой и компьютерной техники

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться с взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. Корреляционный и регрессионный анализ — математико-статистические методы изучения связей, дающие возможность определить закономерности развития изучаемых явлений, глубже понять сложный механизм причинно-следственных взаимосвязей и зависимостей между различными параметрами.

Взаимосвязи между показателями могут быть функциональными или статистическими. При функциональной зависимости значение одного показателя может быть однозначно определено по значению другого. Однако для экономических показателей функциональные связи нетипичны. Для них характерна статистическая связь, когда изменение одного показателя приводит к изменению другого, но точно оценить это изменение нельзя, так как зависимая переменная, помимо указанного показателя-фактора, испытывает, пусть даже менее существенное, влияние других факторов и взаимосвязь между ними содержит в себе элемент случайности. Количественная оценка наличия и направления таких связей, а также характеристика силы и формы влияния одних факторов на другие требуют использования аппарата корреляционного и регрессионного анализа.

Основное назначение корреляционного анализа — выявление корреляционной связи между двумя или более переменными, оценки корреляционных характеристик и проверка статистических гипотез значимости связи. Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

Задача

После нескольких лет работы на рынке бытовой и компьютерной техники один из филиалов крупной торговой сети провел оценку изменения продаж бытовой техники и изменения общего дохода от реализации всех видов товаров. Рассмотрев имеющиеся отчеты по счетам за предыдущие 8 лет, выявили следующие цифры:

Таблица 1

Аналитики выяснили, что в сравнении с 2010 годом продажи бытовой техники в 2002 году уменьшились на 5%, общий доход снизился на 31%, за 2003 год продажи были снижены на 2%, а изменения в общем доходе составили 13%, причем со знаком минус и т. д. Кроме выявления изменений, аналитики спрогнозировали в 2011 году уменьшение объемов продаж бытовой техники на 3%, в сравнении с 2010 годом. Необходимо выяснить, как это повлияет на общий доход?

Практическая часть

Имеются следующие данные:

Таблица 1

Оценим математические ожидания, дисперсии, среднее квадратические отклонения и коэффициент корреляции случайных величин и .

Математические ожидания:

корреляционный регресионный математический дисперсия

и

;

Несмещенные дисперсии:

и

;

Смещенные дисперсии:

и

;

Несмещенные средние квадратические отклонения:

и

;

Смещенные средние квадратические отклонения:

и

;

Для вычисления коэффициента корреляции определим несмещенную оценку ковариации по формуле:

Подставив исходные данные, получаем. Оценка ковариации, поэтому можно утверждать, что между переменными существует прямая зависимость.

Теперь используем полученные данные оценки ковариации в нахождении коэффициента корреляции:. Оценка коэффициента корреляции характеризует силу связи между параметрами. Так как устанавливаем, что сила связи между и весьма высокая. Определение оценки коэффициента корреляции дает возможность проверки гипотезы о наличии линейной статистической связи. Если гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции будет отвергнута, то соответствующие величины связаны линейным соотношением, если же она будет принята, тогда устанавливают, что величины линейно не связаны друг с другом. В данной ситуации, поэтому гипотеза отвергается.

Нанесем точки из таблицы на координатную плоскость (Рис. 1 Исходные данные на координатной плоскости):

Рис. 1 Исходные данные на координатной плоскости

Построим регрессионную модель вида: .

Построение регрессионной модели заключается в оценивании параметров и вида функции, распределения и параметров случайной величины, поэтому регрессионную модель записывают в виде:, где конкретная зависимость называется эмпирическим уравнением регрессии.

Для построения регрессионной модели в качестве эмпирического уравнения регрессии выберем линейную функцию:. Если использовать прямой метод построения линейных регрессионных моделей, тогда необходимо записать эмпирическое уравнение регрессии следующим образом:

— для уравнения Y на X;

— для уравнения X на Y, где, ,, и были вычислены заранее.

Подставив все имеющиеся данные, вычисляем уравнение Y на X (Рис. 2 Графический метод построения линейных регрессионных моделей):

;

Уравнение X на Y (Рис. 2 Графический метод построения линейных регрессионных моделей):

Рис. 2 Графический метод построения линейных регрессионных моделей

После построения линейных регрессионных моделей в качестве эмпирического уравнения регрессии выберем параболу и, используя метод наименьших квадратов, находим коэффициенты, решая систему уравнений:

Уравнение параболической модели: =-0,0887+5,1575−2,6549 (Рис. 3 Графический метод построения параболической регрессионной модели) Рис. 3 Графический метод построения параболической регрессионной модели

Теперь оценим среднее квадратическое отклонение для обеих моделей: и для линейной, и для параболической.

Линейная модель (l=2, n=8):

1) ,

где l — число неизвестных параметров функции

;

2) ,

где n — число исходных данных Параболическая модель (l=3, n=8):

подставив данные, получаем:

Для параболической регрессии оценим корреляционное отношение. Прежде чем это сделать, необходимо оценить величину, называемую коэффициентом детерминации и характеризующую степень тесноты детерминированной связи:

причем и. В корреляционном анализе вместо пользуются оценкой корреляционного отношения:, то есть

.

Подставляем в формулу имеющиеся данные и получаем:

.

Результат вычислений сравним с вычисленным ранее значением. Так как, в качестве можно брать нелинейную функцию.

На следующем этапе вычислений найдем доверительный интервал для условного математического ожидания с доверительной вероятностью 1-б=0,97 при предположении о нормальном условном распределении случайной величины Y.

Сначала в качестве эмпирического уравнения регрессии выберем линейную модель с .

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся формулой:

Итак, имеем следующие данные:; n=8; =2,75;. Так как в таблице квантилей распределения Стьюдента не дано значения соответствующего доверительной вероятности 1-б, вычислим его самостоятельно, используя уравнение прямой, проходящей через две точки: .

Выберем в таблице значений два ближайших значения по отношению к установленной доверительной вероятности г=0,97: и; г=0,95 и г=0,99 соответственно. Подставим все имеющиеся данные в уравнение прямой, проходящей через две точки:

получаем

После нахождения всех необходимых данных строим доверительный интервал (Рис. 4 Доверительный интервал для условного математического ожидания на основе линейной регрессионной модели) Рис. 4 Доверительный интервал для условного математического ожидания на основе линейной регрессионной модели

Для построения доверительного интервала можно также использовать параболическую модель с (Рис. 5 Доверительный интервал для условного математического ожидания на основе параболической модели) Рис. 5 Доверительный интервал для условного математического ожидания на основе параболической модели

В исходных данных приведено значение, взятое из той же генеральной совокупности. Рассчитаем доверительный интервал для условного математического ожидания с доверительной вероятностью г=0,97, употребляя указанное :

При использовании линейной модели, где, , а также n=8,, и, получаем следующий доверительный интервал:

— 22, 0515−14,3931

При использовании параболической модели =0,0887+5,1575−2,6549, где и, доверительный интервал: -20,129−17,7224.

Таким образом, устанавливаем, что эти доверительные интервалы накрывают истинное среднее значение изменения общего дохода филиала (в %) с вероятность 0,97. Можно сказать, что истинное среднее значение находится в этом интервале (интервале, вычисленном по линейной модели или по параболической).

Регрессионные модели используются для косвенного оценивания значения по информации о значении, то есть при подстановке в выражение мы оценили только среднее значение величины y с некоторым доверительным интервалом: -22, 0515−14,3931 (линейная регрессионная модель), -20,129−17,7224 (параболическая регрессионная модель).

Для того, чтобы получить оценку индивидуального значения необходимо определить толерантный интервал, в который с заданной вероятностью р=0,95 и г =0,97 попадает значение :

где , — квантиль условного распределения, находящиеся по таблице.

Ф ()=,

то есть, используя таблицу, устанавливаем, что =1,96.

Если в качестве регрессионной модели берется линейная модель, где и, тогда толерантный интервал: -26,555 << -9,8896.

Для нахождения толерантного интервала можно также использовать параболическую регрессионную модель =0,0887+5,1575−2,6549 с и. В этом случае толерантный интервал примет следующий вид: -21,5443 << -16,3071.

Из проведенного выше анализа, можно сделать следующие выводы: изменение объема продаж бытовой техники и изменение общего дохода филиала торговой сети тесно взаимосвязаны. В ходе интервального оценивания было выяснено, что при выполнении предсказания аналитиков, а именно спад объема продаж бытовой техники в 2011 году на 3%, приведут к уменьшению общего дохода. Используя результаты вычислений, с указанными ранее вероятностями, на основе линейной регрессионной модели, можно установить, что уменьшение дохода будет находиться в диапазоне от 9,5% (точнее 9,8896%) до 26,5% (точнее 26,555%), по данным параболической регрессионной модели — от 16,3% (точнее 16,3071%) до 21,5% (точнее 21,5443%).

Заключение

Корреляционный и регрессионный анализ являются основными методами изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин. В ходе регрессионного анализа устанавливается форма зависимости между показателями, определяется функция регрессии в виде математического уравнения того или иного типа, устанавливается влияние главных существенных факторов на зависимую переменную, оцениваются неизвестные значения зависимой переменной, корреляционный анализ позволяет количественно оценить тесноту взаимосвязи, определить оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. Использование этих методов в различных сферах деятельности человека позволяет строить прогнозы, оценивать одни явления через другие, принимать решения, обосновывать их и получать аналитические выводы. Результаты, приносимые корреляционно-регрессионным анализом используются в маркетинге, медицине, торговой сфере, сфере производства, строительства и других областях.

Источники и литература

1. Маслов В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. — ВВАГС, 1999.;

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. — 11-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2008.;

3. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Под ред. В. А. Колемаева. — М.: ИНФРА-М, 1997.;

4. Статья «Применение корреляционно-регрессионного метода в анализе финансового состояния организации»