Выбор потребителя. 
Теория потребительского поведения. 
Теория фирмы. 
Теория рынков

Используя карту кривых безразличия и бюджетную линию, можно графически представить модель потребительского выбора (рис. 3.6).

Прежде всего следует сформулировать критерий оптимального выбора потребителя. В принципе он нам уже известен из гл. 1. Это максимизация получаемой полезности (удовлетворения) при заданных ограничениях.

Наилучший (оптимальный) из доступных товарный набор должен находиться на бюджетной линии.

Если для товарного набора N (Х_{, УЦ ограничение выполняется в виде строгого неравенства (Р^х X + P^Y У < М), то, увеличив потребление какого-то из товаров, можно повысить уровень удовлетворенности потребителя.

Покупатель может отложить часть дохода для будущего потребления, но это будет уже другая модель потребительского поведения, учитывающая межвременные предпочтения (об этом см. т. 2, параграф 20.4). Мы же рассматриваем сейчас статическую задачу, предполагая, что весь доход расходуется в настоящий момент. Следовательно, набор, максимизирующий функцию полезности (X*, Y*), должен укладываться в бюджетное равенство Р^х • X + P^Y? Y = М и находиться на бюджетной линии.

Рис. 3.6. Оптимальный выбор потребителя в случае стандартных предпочтений.

Но какой именно набор — из лежащих на бюджетной линии — можно считать оптимальным?

Возьмем, к примеру, набор Л, принадлежащий к кривой безразличия IC_V Заменяя, в пределах своих бюджетных возможностей, какую-то часть товара Y на дополнительное количество товара X, потребитель может переместиться в любую точку на бюджетной линии: С, Д Е, F, G, Н или др. Все наборы, кроме одного, являются точками пересечения соответствующих кривых безразличия с бюджетной линией. И только один набор, набор Е, находится на кривой безразличия, касающейся бюджетной линии. Перемещаясь от концов бюджетной линии к точке касания, потребитель будет последовательно улучшать свой выбор, переходя на более высокие уровни функции полезности. Максимального уровня полезности (удовлетворенности) потребитель может добиться только при выборе набора в точке касания, т. е. набора ?, поскольку последний принадлежит к самой предпочтительной из доступных потребителю кривой безразличия.

Набор в точке Е называется набором потребительского равновесия. Как только потребитель получает такой набор, у него нет больше стимулов менять его на другой, пока не изменятся его предпочтения, располагаемый доход или цены. Любой уход из точки Е, в пределах бюджетных возможностей, будет означать ухудшение положения потребителя, так как при этом произойдет переход на более низкую, а значит, менее предпочтительную кривую безразличия.

Наклон кривой безразличия в каждой точке, как мы установили выше, определяется предельной нормой замены (MRS_Xу). Из аналитической геометрии известно, что наклон кривой в любой точке определяется углом наклона касательной, проведенной к этой точке. (В точке касания наклоны двух любых линий равны.) Для каждой точки кривой безразличия есть своя касательная, но только для точки потребительского оптимума (иначе — локального рыночного равновесия) касательной является бюджетная линия. Следовательно, только для точки оптимума выполняется следующее условие:

Предельная норма замены определяет предельную выгоду (МВ), которую потребитель может получить от потребления дополнительной единицы (порции) товара X. Предельные же издержки потребителя (МС) измеряются величиной углового коэффициента бюджетной линии. Она показывает, при каком соотношении цен затраты на приобретение одной дополнительной единицы товара X окупаются в случае отказа от затрат на покупку определенного количества товара У. В точке оптимума (при максимизации общей полезности) предельные затраты и предельная выгода равны: МВ = = МС.

Если условие равновесия не выполняется:

то максимум полезности не достигается. Изменяя покупаемые количества альтернативных товаров в наборе, потребитель может изменять нормы замещения до тех пор, пока не будет достигнуто условие равновесия. Напри;

Р^х

мер, неравенство MRS_XY > -у- означает, что потребитель готов за дополнительную единицу товара X отказаться от большего количества товара У, чем было бы достаточно при данном соотношении товарных цен на рынке. Замещая товар У товаром X по денежной норме замещения, потребитель будет получать чистый выигрыш.

Полученное условие потребительского равновесия можно переписать так:

Последнее уравнение говорит о том, что потребитель, максимизирующий полезность, покупает два товара в такой пропорции, чтобы их предельные полезности в расчете на рубль затрат были равны.

В случае N товаров потребитель распределяет расходы на все товары по этому же принципу:

Как мы видим, условия максимизации полезности, выведенные путем анализа ординалистски интерпретированных предельных полезностей и с помощью кардиналисгской теории полезности, одинаковы (совпадают).

Решение задачи максимизации общей полезности можно получить и более строго математически.

Для случая двух товаров задачу максимизации полезности можно представить сначала как задачу математического программирования. Формально задача потребительского выбора имеет вид:

Решение задачи потребительского выбора, завершающееся нахождением пары (X*, У*), обычно называют точкой потребительского оптимума, или короткой (двумерной) точкой. При отсутствии дополнительных ограничений (скажем, при недостаточном количестве одного из благ и др.) найденное решение также можно называть локальным рыночным равновесием. Кроме того, доказывается, что в оптимуме бюджетное ограничение выполняется как строгое равенство.

Задачу математического программирования можно заменить на задачу нахождения условного экстремума. В этом случае бюджетное ограничение (<функциональное) задается как строгое равенство, а второе (прямое) условие (X > О, У > 0) выполняется автоматически, исходя из свойств функции полезности U (X, Y):

Одно из двух возможных решений состоит в том, чтобы на основе бюджетного ограничения выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение в целевую функцию.

Так, для любого заданного значения X количество У, требуемое для того, чтобы удовлетворялось бюджетное ограничение, определяется линейной функцией вида уа- Ьх:

Теперь, подставив в функцию полезности У (Х) вместо У, получаем задачу на нахождение безусловного максимума.

Эта задача на нахождение безусловного максимума только X, поскольку мы использовали функцию Y (X), чтобы гарантировать, что значение Y всегда будет удовлетворять бюджетному ограничению при любом значении X.

Задача на экстремум решается как обычно — путем взятия первой производной функции полезности и приравнивания ее к нулю.

В результате получаем условие первого порядка существования экстремума (максимума) в виде.

Преобразуем его:

Полученное выражение — показывает влияние изменения X на рост Э U ^дХ

полезности, —-возрастание полезности по мере роста Y, помноженное.

⁰⁷ (dY

на скорость возрастания Y при росте X —— .

(1Y «^х) _м

Чтобы получить ——, надо продифференцировать выражение Y (X) = —_:— рх dX Р¹

~Jy^X:

_п. BU[X, Y (X)] dU[X, Y (X)]

I юдставим получен н ы 11 резул ьтат в выражение——1——х.

dY ЗХ дY

х—— = 0 и преобразуем его: dX ^{1 3}

Дальнейшее преобразование приводит к такому результату:

Числитель дроби в левой части уравнения — это MU_X, а знаменатель — MUу. В итоге имеем.

Другой способ решения этой задачи — использование метода Лагранжа. Составим функцию Лагранжа, включающую целевую функцию и бюджетное ограничение:

Согласно теореме Лагранжа оптимальный выбор (Х У*) должен удовлетворять трем условиям первого порядка:

Итак, у нас имеются три уравнения с тремя неизвестными Х_} Y, X. Решение системы уравнений (X*, У*, X*) называется критической точкой функции Лагранжа (трехмерной, или длинной, точкой). Поделив первое уравнение на второе, избавимся от одной из неизвестных — X и получим два уравнения с двумя неизвестными:

С учетом особенностей функции полезности^[1][2] — строгая выпуклость вверх и наличие бюджетного ограничения — у системы уравнений решение обязательно есть, притом единственное. Но раз у задачи существует только одна длинная точка, то и короткая — тоже одна. И это точка локального условного максимума функции.

В случае покупки ограниченного товарного набора из двух (трех, четырех и т. д.) товаров задача получения наибольшей чистой полезности может решаться как задача на нахождение минимума затрат при фиксированном уровне полезности. Каждой исходной (прямой) задаче, в которой целевая функция стремится к максимуму, а ограничения представляют систему равенств (строгих или нестрогих), соответствует двойственная задача, в которой целевая функция и функция ограничения меняются местами и целевая функция стремится к минимуму.

В аналитической форме двойственная задача на условный экстремум будет иметь такой вид:

Прямая и двойственная задачи еще называются совместными, или симметричными взаимодвойствепными. Решение двойственных задач также позволяет найти точку локального условного экстремума (короткую точку) и критическую точку функции Лагранжа (длинную точку). Графическая форма задачи минимизации затрат потребителя при фиксированном уровне полезности показана на рис. 3.7.

Двойственная задача математического программирования будет выглядеть так:

Рис. 3.7. Нахождение оптимума потребителя при фиксированном уровне полезности.

• [1]. dU (X, Y) Э?/(Х, К)
• [2] 11ервые производные по переменным X и Y— положительные (— > 0, — >0),