Математическая постановка задачи тепло-и массопереноса в грунтах земляного полотна

Как отмечалось в параграфе 5.1, процессы теплои влагообмена грунтов земляного полотна в годовом цикле проходят четыре взаимосвязанные стадии, так, что, например, процесс пучения во многом зависит от влажности грунта в конце осеннего влагонакопления, а расчетная влажность весной — от процессов миграции (перераспределения) влаги зимой. Процессы теплообмена, характерные для каждого периода, повторяются в течение многих лет, хотя климатические условия каждого конкретного года и вносят изменения в численные значения параметров ВТР дорожной конструкции. Поэтому, когда ставится задача определения расчетных характеристик ВТР, используемых при расчете дорожных одежд на прочность и морозоустойчивость, то можно эти процессы рассматривать как квазистационарные (периодически повторяющиеся), и очень важной задачей является назначение расчетных характеристик метеорологических элементов, определяющих ВТР дорожной конструкции. При составлении же краткосрочных или долгосрочных прогнозов в пределах одного года необходимо знать начальные распределения температуры и влажности в дорожной конструкции.

Особенностью происходящих процессов теплообмена грунтов земляного полотна с атмосферой в годовом цикле является то, что математически их невозможно описать в рамках одной задачи.

Математическая постановка задачи для периода положительных температур воздуха и грунтов земляного полотна приведена в параграфе 4.2.

Как правило, рассматриваются уравнения теплои влагопроводности только для дорожной конструкции, а граничные условия Г (0, t) и W (0, /) задаются в виде функций, являющихся результатами теплои влагообмена с приземным слоем воздуха.

Математическая постановка задачи для осенне-зимне-весеннего периода года, когда происходят процессы промерзания-оттаивания грунтов, более сложная, так как фунт в этом случае состоит из двух зон, отличающихся теплофизическими показателями, разделенных подвижной границей промерзания (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Расчетная схема к решению задачи тепловлагопереноса в сезонно промерзающих и оттаивающих грунтах.

Процессы теплои влагоперсноса в этой задаче неразрывно связаны. Уравнения теплои влагопереноса для рассмотренных зон имеют следующий вид:

I зона:

II зона:

где a_w а_т — коэффициенты теплопроводности мерзлого и талого грунта; k_w k_T — коэффициенты влагопроводности мерзлого и талого грунта; с_м, с_т — удельная теплоемкость мерзлого и талого грунта; е_1 м — критерий фазового перехода соответственно пара в воду, воды в лед в мерзлой зоне; г_т — критерий фазового перехода воды в пар в талой зоне; р_пм, р_нм — скрытая теплота парообразования и ледообразования в мерзлой зоне; р_ит — скрытая теплота парообразования в талой зоне; B_w В_т — термоградиентные коэффициенты незамерзшей влаги в мерзлом грунте и жидкой влаги в талом грунте.

В уравнении (5.1) второй член учитывает тепло внутренних источников конденсации пара и кристаллизации льда. При этом перемещение влаги происходит в жидком и парообразном виде. В уравнении (5.2) второй член учитывает миграцию в мерзлой зоне термоактивной влаги. Аналогично, в уравнениях (5.3) и (5.4) вторые члены учитывают соответственно тепло внутренних источников конденсации пара и миграцию термоактивной влаги в жидкой фазе в талом грунте.

Приведенные уравнения (5.1—5.4) можно упростить, если пренебречь вторыми членами, т. е. полагать, что изменения температуры в мерзлой и талой зонах практически не зависят от миграции влаги в парообразном состоянии и фазовых переходов ее, а распределение влаги не зависит от перемещения влаги в жидком виде под действием градиентов температуры.

Кроме того, из приведенной системы можно исключить уравнение (5.2), учитывающее миграцию незамерзшей влаги в жидкой форме в мерзлой зоне.

В этом случае будем иметь систему из трех уравнений, причем уравнение (5.5) записывается для мерзлой зоны, (5.6) и (5.7) — для талой зоны:

Решение приведенной системы уравнений следует искать при следующих краевых условиях:

— температура на поверхности грунта.

— температура и влажность грунта на глубине z = постоянны и равны начальным значениям:

— на границе фронта промерзания температура мерзлого и талого грунта одинаковая и равна величине 7^, меньшей 0 °C, зависящей от дисперсности грунта:

Физическая сущность процессов, происходящих на поверхности фазового перехода при превращении воды в лед, заключается в том, что в процессе промерзания грунта вблизи границы промерзания свободная и часть рыхлосвязанной воды при температуре 7% переходит в твердое состояние. Оставшаяся влажность при жидкой фазе существенно ниже начальной влажности W₀. Возникновение градиента влажности ДМ’ниже границы льдовыделения является причиной миграции влаги снизу к фронту промерзания, причем величина миграции зависит от коэффициента влагопроводности К_т, характеризующего влагопроводимосгь талого грунта.

При движении поверхности фазового перехода z = % = f (t) происходит выделение скрытой теплоты затвердевания воды в лед. Для выполнения закона сохранения энергии (теплового баланса) это количество тепла должно равняться разности количеств тепла, прошедших через подвижную границу промерзания т. е. должно выполняться условие.

где у_CKW — количество влаги, замерзшей на границе промерзания; р — скрытая теплота затвердевания воды в лед или плавления льда, равная 334,4 кДж/кг.

Количество влаги W (в долях единицы по объему) на границе промерзания, превращающееся в каждый момент времени в лед,.

где Wf — количество влаги в жидкой фазе в талом грунте на границе льдообразования, зависящее от вида грунта; AW — приток влаги в жидкой фазе к границе промерзания; W_H3 — количество незамерзшей воды (прочно связанная влага, не участвующая в процессе миграции).

Особенностью рассматриваемой задачи является наличие подвижной границы промерзания, где происходит процесс фазового перехода воды в лед и наоборот.

Впервые задачу промерзания грунта с движущейся границей промерзания решил австрийский физик и математик Йозеф Стефан при граничном условии:

где, а — параметр, характеризующий скорость промерзания, имеющий размерность, м/ч¹/².

Начальные условия в общем виде имеют вид: