Эластичность функции спроса и ее геометрический смысл

При изучении функции спроса важную роль играет понятие эластичности. Эластичность характеризует чувствительность функции спроса к изменению факторов, от которых она зависит. Возникает вопрос, как выразить чувствительность зависимой переменной Y (функции спроса) к изменению независимой переменной X (фактора спроса).

Одним из показателей реагирования одной переменной па изменение другой является производная вида.

Геометрический смысл производной функции спроса состоит в том, что она показывает угол наклона кривой спроса в соответствующей точке.

Однако с этой мерой чувствительности спроса возникают некоторые проблемы. Главная в том, что наклон кривой спроса на графике будет зависеть от выбора единиц измерения цены и объема спроса. Чтобы не зависеть от единиц измерения переменных, в экономике используют другую меру чувствительности функции — эластичность.

Эластичность показывает относительное изменение функции под влиянием относительного изменения какого-то фактора.

Эластичностью функции вида Y = f (x) называют предел отношения относительных изменений переменных Y и X:

Таким образом, эластичность можно представить в виде отношения предельной (MJ) и средней (Af) величин функции.

Учитывая, что d In Y =~^~, a d X ⁼~^~> эластичность можно представить в форме логарифмической производной.

Можно записать, что эластичность спроса по любому фактору определяется как отношение процентного изменения объема спроса к процентному же изменению величины этого фактора.

Существует столько видов эластичности, сколько имеется факторов, воздействующих на спрос. Другое дело, что изменение многих факторов (вкусов, предпочтений, ожиданий, моды и т. п.) очень трудно измерить и тем более точно соотнести с изменениями в объеме спроса.

Из всех видов эластичности спроса наибольший интерес для фирм, стремящихся максимизировать прибыль и (или) увеличить свою долю на рынке, представляет эластичность спроса по цене (или прямая эластичность спроса):

Поскольку цена и объем спроса меняются в противоположных направлениях, постольку и коэффициент прямой эластичности спроса есть всегда отрицательная величина.

Проблема, однако, возникает при сравнении величин эластичности спроса на разные товары. С точки зрения чистой математики -3 меньше, чем -1. С позиции эластичности спроса коэффициент -3 говорит о том, что спрос сильнее реагирует на изменение фактора, чем при коэффициенте -1.

Поэтому при оценке эластичности спроса по цене учитывают только абсолютное значение коэффициента. И записывают так:

Если функция спроса задана как непрерывно дифференцируемая, то эла;

стичность спроса удобно выражать через производные: Ер^х = -•.

dQ^Dx Р^х

dP^x Q^Dx '.

При использовании данного метода вычисления эластичности говорят об эластичности в точке (или иначе — точечной эластичности). Эластичность в точке показывает реакцию спроса на очень малое изменение цены.

Если функция спроса дискретна или если у нас имеется только набор дискретных данных об изменениях цены и спроса (полученных путем наблюдения), то определение эластичности через относительные приросты этих переменных будет уже не таким однозначным. Поскольку, например, неясно, что брать в качестве точки отсчета — Р_и или Р₉, или их среднее.

Р+Р₂ АР Р₂-Р

значение — - в выражении -^-= -— .

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, из двух наблюдений нам известно, что если цена товара X равняется 5 руб. (Р^х), то объем спроса на него (О^¹) равен 30 шт., а если цена равна 8 руб. (Р^х), то объем спроса [Q₂^x) — 20 шт.

Если мы будем исходить из того, что цепа на товар X повысились, то начальной ценой надо считать Р_{^х, а конечной — Р₂^Х. Соответственно, объем спроса Qf^x — начальный, a Q₂^X — конечный. Тогда коэффициент прямой эластичности будет равен.

Если мы захотим определить чувствительность спроса к понижению цены, то исходными параметрами надо считать Р₂^А и Q₂ ^X, а конечными — Р^Х и Q?^x. Соответственно, коэффициент эластичности будет равен:

Как видим, между двумя коэффициентами чувствительности спроса к изменению цены довольно большая численная разница, хотя речь идет об одном и том же интервале кривой спроса. Это возникает потому, что движение от первой точки ко второй порождает совсем не те изменения, которые возникают при движении от второй точки к первой.

Неопределенность в выборе правильной базы (первая точка на кривой спроса или вторая) в значительной степени может быть преодолена путем использования в качестве таковой среднего значения двух уровней цены и двух наблюдений объема спроса. Тогда мы имеем

При использовании этого метода измерения (его называют методом вычисления эластичности по дуге^[1]) отпадает забота решать вопрос, какую точку на кривой спроса взять в качестве отправной (базовой) при вычислении коэффициента эластичности. В обоих вариантах получается одно и то же значение эластичности. Вместе с тем надо иметь в виду, что коэффициент дуговой эластичности имеет экономический смысл только тогда, когда он рассчитывается для близлежащих на кривой спроса точек. Но даже в этом случае можно говорить лишь о приблизительном значении, аппроксимации эластичности по дуге между двумя точками кривой. Отклонение от истинного значения будет тем больше, чем более вогнутой (или выпуклой) будет дуга.

Выше мы установили, что наклон кривой спроса (tgP) не отражает понятия эластичности. Он целиком зависит от абсолютного изменения цены при абсолютном изменении объема спроса: Эластичность же отражает.

относительное изменение объема спроса в ответ на относительное изменение цены.

Значит ли это, что мы не можем дать геометрическую интерпретацию эластичности? Конечно нет, можем.

Рассмотрим сначала более простой случай линейной функции спроса (рис. 5.2).

Найдем эластичность этой функции в произвольной точке с с координатами (х, у). др Тангенс угла р отражает постоянное отношение-для линейной функ;

^ ^{А (}2.

ции спроса в любой точке линии спроса (и в том числе в точке с).

Можно записать, что.

Точку с соединим с началом координат. Тогда тангенс угла у будет отражать отношение Р к Q:

Теперь можно записать.

Учитывая, что Ох = сх, получаем.

Рис. 5.2. Геометрическая интерпретация эластичности спроса в случае линейного вида функции спроса.

А так как треугольники Ьсу и сах подобные, то.

И, следовательно:

Таким образом, геометрически эластичность линейной функции спроса равна отношению длины отрезка прямой спроса от произвольно выбранной на ней точки с до оси абсцисс (са) к длине отрезка от той же точки до оси ординат (cb), взятого со знаком «минус».

В случае криволинейной функции спроса (рис. 5.3) для геометрического определения абсолютной величины эластичности спроса к произвольно выбранной на кривой спроса точке г с координатами (х, у) надо провести касательную.

Рис. 53. Геометрическая интерпретация эластичности спроса в случае криволинейной функции спроса.

Дальнейшие рассуждения будут почти такими же, что и в предыдущем случае. Единственная разница, что отношение не будет одинаковым для всех точек кривой спроса. В итоге получаем.

Итак, геометрически эластичность криволинейной функции спроса определяется как отношение двух отрезков касательной к соответствующей точке на кривой спроса: отрезка от выбранной точки z до пересечения касательной с осью абсцисс (га) к отрезку от той же точки до пересечения касательной с осью ординат {zb).

Конкретное значение коэффициента эластичности может много сказать о характере спроса. Если объем спроса в процентном отношении меняется сильнее, чем меняется цена, говорят, что спрос на товар эластичный. Абсолютное значение коэффициента эластичности в этом случае будет больше 1:

В обратной ситуации, когда спрос меняется слабее цены (в процентном отношении), говорят, что он неэластичный. Модуль коэффициента эластичности меньше 1:

Когда процентное изменение спроса равняется процентному изменению цены, говорят, что спрос унитарен {единичен)'.

Значение ценовой эластичности спроса в каждой точке кривой спроса, как правило, разное. Легче всего в этом можно убедиться, рассмотрев кривую спроса линейного вида Q = а — b • Р (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Эластичность на разных участках кривой спроса линейного вида.

" f AQ1 .

Наклон этой линии спроса —— — величина постоянная, равная -о.

V )

Однако коэффициент эластичности в каждой точке этой прямой имеет разное значение. Подставляя константу -Ь в формулу эластичности, получаем.

Вместо Q можно подставить выражение ab Р:

При нулевой цене, в окрестности точки а, эластичность спроса равна 0:

При Q —> 0, в окрестности точки —, эластичность спроса стремится к «минус» бесконечности:

В точке, находящейся ровно посередине линейной кривой спроса ©, эластичность равна -1. Это, кстати, вытекает и из геометрической интерпретации эластичности.

Чтобы найти цену, при которой значение эластичности спроса будет равно -1, решим уравнение:

Спрос при этой цене будет равен.

Эти параметры цены и объема спроса соответствуют как раз середине линии спроса.

На верхнем (левом от точки с) участке линии спроса абсолютное значение коэффициента эластичности больше 1: Ер >1. На нижнем (правом от точки с) участке по модулю коэффициент эластичности меньше 1: Ер <1.

Соотношение абсолютных изменений объема спроса и цены.

Uр)

на всем протяжении прямой спроса, как известно, одинаковое. Но на верхнем левом ее участке цена относительно высока, а объем спроса относительно мал. Поэтому процентное изменение объема спроса относительно велико, а процентное изменение цены относительно мало. Отсюда:

На нижнем участке картина обратная, потому.

Не останавливаясь подробно на криволинейных линиях спроса, отметим, что большинство кривых спроса эластичны в своей верхней левой части и неэластичны в нижней правой.

Но некоторые виды кривых спроса имеют уникальные свойства эластичности по цене. На графике (рис. 5.5, а) изображена вертикальная линия, соответствующая абсолютно неэластичному спросу. Это значит, что спрос абсолютно нечувствителен к изменению цены: Ер =0. Любое, даже очень значительное изменение цены не вызывает изменения объема спроса на товар^[2].

Когда спрос на товар абсолютно эластичен, линия спроса становится практически горизонтальной (рис. 5.5, б).

Рис. 5.5. Абсолютно неэластичная (а) и абсолютно эластичная (б) линии спроса Существует только одна цена Р но которой потребители готовы приобрести практически неограниченное количество товара. Даже очень малое повышение цены вызовет падение спроса до нуля. И наоборот, очень незначительное снижение цены может в определенной ситуации вызвать практически неограниченный рост спроса^[3]

Еще один особый случай представляют собой кривые с постоянной эластичностью спроса. Их наклон в каждой точке разный, а вот эластичность спроса по отношению к изменению цены — постоянная. Можно построить кривые спроса с любым постоянным численным значением коэффициента эластичности. Кривая такой формы (равнобочной гиперболы) с постоянной эластичностью -1 построена на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Кривая спроса с постоянной единичной эластичностью.

• [1] Эластичность по дуге можно определить как меру чувствительности спроса на участкекривой спроса между двумя точками. Строго говоря, формула дуговой эластичности даетприблизительное значение чувствительности спроса в середине хорды, соединяющей эти дветочки.
• [2] Абсолютно неэластичной называют функцию с нулевой эластичностью во всех точках.
• [3] Абсолютно эластичной называют функцию с бесконечной эластичностью во всех точках.