Системы с основным множеством целых чисел

Подводя итог, перечислим упоминавшиеся выше числовые системы с основным множеством Z.

• 1. (Z, +) — аддитивная группа целых чисел.
• 2. (Z, •) — мультипликативная полугруппа целых чисел.
• 3. (Z, +, •) — кольцо целых чисел.
• 4. (Z, <) — линейно упорядоченное множество целых чисел.
• 5. (Z, +, <) — упорядоченное кольцо целых чисел.

Сравните эти числовые системы с соответствующими системами с основным множеством натуральных чисел N и отметьте их новые свойства.

Упражнения

• 1. Докажите, что в области целостности умножение обладает свойством сократимости: если ас = Ьс и с 0, то а = Ь.
• 2. Докажите, что изоморфный образ кольца целых чисел есть кольцо целых чисел.
• 3. Разделите с остатком ±28 на ±23 и ±23 на ±28, перебирая все возможные случаи со знаками.
• 4. Докажите, что упорядоченное кольцо целых чисел можно определить как минимальное упорядоченное кольцо с единицей.
• 5. Опишите все подгруппы группы .
• 6. Опишите все идеалы кольца (Z, +, •).
• 7. Опишите мультипликативную группу обратимых элементов (Z*,).
• 8. Пример упорядоченного кольца, в котором не выполняется аксиома Архимеда. В кольце многочленов Z[x] определим отношение «меньше» < следующим обратом.

Для любых многочленов с целыми коэффициентами f (x) = a_Qxⁿ +а₁х^п~^х +…+а_п и h (x)=b₀xⁿ +b_lx"~^l +… + />" положим f (x) < h (x) тогда и только тогда, когда существует помер к такой, что а_к <�Ь_к, а для всех номеров / < к имеет место равенство а, = bj. (Например, объясните, что 2х < х~ — 1, 5х~ - х + 1 <�з 5. v² — 2). Докажите, ‘по система Z[.r], +, •, < является упорядоченным кольцом, в котором дтя любого п е N имеем п < х, а поэтому аксиома Архимеда не выполняется.