Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (17) Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ. ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ°: ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (Π½Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ) Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ΅Π½ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ) ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎΠ². Π‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ x=(x1,…, xn) ΠΈ L — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ ΠΏΠΎ x ΠΈ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π’Π΅ΠΌΠ°: Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π³Π΄Π΅ q (t) — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ly=0, (2) ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ 1) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· y (t) ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ly=q (t); 2) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ; 3) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· z (t) — ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (2).
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ z (t), Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ly=0. Π y (t) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°).
ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄.
Π³Π΄Π΅ kΠ½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (3) ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈ t>0, Π° ΠΏΡΠΈ t=0 Π·Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ. ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΠΎΡΠΈ.
(I).
ΠΠ°ΡΡΠ΄Ρ Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ (I) ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ (ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ).
(II).
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ (II). Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· (II).
Π³Π΄Π΅ Π‘1 ΠΈ Π‘2 — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΈΠ· (II) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ v (t) Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (II) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y (t) ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· (I) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (4), ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΡΡΠΎ Π‘1(t) ΠΈ Π‘2(t) — ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π‘i:
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΎΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
ΠΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΌ ΠΈΠ· ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°Ρ (7) ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ C1(t) ΠΈ C2(t) ΠΈΠ· (7) Π² (6):
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y (t) Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (8) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· (I).
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (I). ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ C1(t), C2(t) ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ.
ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· (I).
ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ.
ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°Ρ (9) ΠΈ (10) ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ t=0.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (9) Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (I).
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ-Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ:
Π·Π΄Π΅ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
Π³Π΄Π΅ v (t) — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (5), ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (I) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (II) ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (11) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (II) ΡΠΎ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (I) Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ.
Π Π°Π·ΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ΄Π°ΡΡ ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠΎΠ². ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ.
Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ q (t) ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½Π° ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ (0,), >0, ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ Π²Π½Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π°. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ.
(Π²ΡΠΊΠΎΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ»). ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (11).
ΠΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ t ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΠ»Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΡΡΡ q (t) — ΡΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, Π° y (t) — ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ q (t).
ΠΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ t<0 ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡ Π² ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠΎΡ (Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, y (0)=0) ΠΈ y'(0)=0.
ΠΡΡΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ q (t), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ. Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π».
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ q (t) Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (0, t). ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (12) Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ°. ΠΠΎ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ J (t)=1.
ΠΠ· ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (x) Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ [a, b], Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (x) ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅, ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π».
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.
Π³Π΄Π΅ a0.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ y (t) ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΌ:
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΡΡ y (t) — ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ y. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ t=t0 ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎΠΌ
(ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ΄Π°ΡΠΎΠΌ). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΡΠ΅Π·ΠΊΠΈΠΉ ΡΠ΄Π°Ρ ΠΊΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ Π±ΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°ΡΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΡΡ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ v (t) Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (II) Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ 1.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (0, t) Π½Π° n ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ n Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎ, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ
ΠΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° (ΡΡΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ, Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠΎΠ² (ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ); ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΆΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ zi ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ t=i.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ (ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (11)) ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y (t) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° (ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ). ΠΡΠΎΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ.
Π ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (13) ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠΎΠ².
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ I ΠΈ II Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Lyy"+p1y'+p0y=q (t), ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
- 1) ΡΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΠΎΡΠΈ I ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ;
- 2) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ y (t) ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°Π»ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ;
- 3) ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ q (t), y (t), v (t) ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠΎΠ².
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ I Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΠΎΡΠΈ II Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (v (t)) Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ v'(0)=1. ΠΠ΄Π΅ΡΡ v'(0) — ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΈ t=0.
ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΡΠ½ΡΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠ½Ρ. ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x, t) ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ»Ρ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² (14), Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΡΡΠ½Ρ [4], ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ f (x, t) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ (ΠΏΡΠΈ t>0) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΡΡΡΠ½Ρ.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (14) ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΄ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΠΎΡΠΈ (ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ t=) Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
Π³Π΄Π΅ f (x,) — Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x, t) ΠΈΠ· (14) ΠΏΡΠΈ t=>0.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ v Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ, Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ v=v (x, t,). ΠΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ 0 ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (15) Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΠ°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅ΡΠ° [4]. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ v=0 ΠΏΡΠΈ t=, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ v (x, t,) ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅:
(16)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ v (x, t,) ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ t. v (x, t,) — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ f (x,). ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ u (x, t) Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (16) ΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ:
(17)
(ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (16)). ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (17) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²Π΅ΡΠ½Π°, ΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Ρ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ u (x, t) — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠΎΠ² (ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ).
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ u (x, t) ΠΈΠ· (17) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ (14). ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° Π² (17) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎ. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ v (x, t,) — ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (15). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, u (x, t) — ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (14). Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u (x, t) ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (17) Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ. ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ°: ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (Π½Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ) Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ΅Π½ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ) ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎΠ².
ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ² ΠΈ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Lu=0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° U (x, t,), Π³Π΄Π΅ — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ. ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
Π‘ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ° ΡΡΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΠΎΡΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ).
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ. Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΊΠΎΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π΄ΡΠ°ΠΌΠ΅Π»Ρ
1. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ x=(x1,…, xn) ΠΈ.
Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ x=(x1,…, xn) ΠΈ L — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ ΠΏΠΎ x ΠΈ t Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ t ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ t Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
3. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° xR1:
4. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΠΠΎΡΠΈ.
Π΅ΡΠ»ΠΈ xRn, L (u) — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ ΠΏΠΎ x c ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.
5. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:
[ ΠΡΡ ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π½Π° ui(x, t) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u (x, t): u (x, 0)=0].