Основные свойства системы целых чисел Основные свойства колец

Исходя из определения 3.2.2 целых чисел, докажем известные свойства этих чисел. По определению система целых чисел является прежде всего кольцом, поэтому на нее распространяются общие свойства колец. Докажем основные из них.

• 33.1. Предложение. Пусть (АГ,+,•) — кольцо и а>Ь, сеК. Имеют место следующие свойства:
• 1) (Свойство нуля) а • 0 = 0 • а = 0.
• 2) (Правила знаков) (-a) b = а-(-b) = -(а• Ь), (-а)• (-b) = а Ь.
• 3) (Дистрибутивность умножения относительно вычитания) a (b-c) = a b-a c, (b-c) a = b a-c a.

Д о к, а з, а т е л ь с т в о. 1). я-0 = я-(0 + 0) = а-0 + а-0. Следовательно, я 0 = я 0 + я-0. Прибавив к обеим частям этого равенства по -(я-О), получим 0 = я-0. Аналогично доказывается, что 0<7 = 0.

• 2) Пользуясь дистрибутивностью умножения относительно сложения и доказанным свойством нуля, получаем a (-b) + a b= a (-b + b)=a 0 = 0. Отсюда следует, что элемент а? (-Ь) является противоположным для а-b, то есть а• (-Ь) = —(а? Ь). Аналогично доказывается, что (-a) b = -(a b). Пользуясь доказанным свойством, получаем (-а)• (-b)=-(а-(-b))=-(-(а b))=a-b.
• 3) Используя определение вычитания, дистрибутивность умножения относительно сложения и правила знаков, получаем а • (Ь — с)=а • (Ь + (-с)) — =a-b + a‘ (-с)=ab + (-(<�а • с))=а • b — а • с.

Аналогично доказывается второе равенство. ?

Дополним определение 2.7.3 натурального кратного элемента кольца.

3.3.2. Определение. Пусть (К, +, •> - кольцо с нулем 0. Для любого а е К положим 0а= 0, и для любого п е N будем считать, что (-п)а=-(па). Элемент та, где /" е Z, называется целым кратным элемента а.

Обобщим свойства натуральных кратных из 2.7.4 на целые кратные.

3.3.3. Предложение. Пусть (К, +, •> - кольцо. Дтя любых а, ЬеК и m, hgZ имеют место равенства: (т + п)а = та + па; (тп)а = т (па); та • nb = (тп)(а • Ь).

Доказательство (с использованием 2.7.4) предоставляется читателю. ?

Область целостности В определении 3.1.2 кольца целых чисел не фигурирует требование коммутативности умножения. Оказывается это свойство можно доказать, исходя из этого определения.

3.3.4. Предложение. Умножение целых чисел коммутативно.

Доказательство. По 3.1.7 всякое целое число представимо в виде разности натуральных чисел. Если х = а-Ь, y = c-d, где a, b, c, deN, то, пользуясь свойствами колец 3.3.1 и коммутативностью умножения натуральных чисел, получаем: хy=(a-b)(c-d)=ac-a-d-b-c+bd = =ca-da-cb+db= = (с — d)? (а — b) = у • хП

3.3.5. Предложение. В кольце целых чисел (Z, +, •) множества N, {0} и — N попарно не пересекаются.

Доказательство. Если предположить, что п = 0 для некоторого neN, то п' = п + 1 = 1, что противоречит первой аксиоме Псано. Следовательно, N Г{0) = 0. Отсюда следует, что — N п {0) = 0 и Nгл-N = 0. ?

3.3.6. Предложение. Квадрат любого целого числа, отличного от нуля, есть число натуральное.

Доказательство. Пусть О * z g Z. Тогда либо zeN, откуда z² gN; либо z gN, откуда z = -n, где neN, и тогда z² = (-и)-(-л) = л² е N. ?

3.3.7. Предложение. Если произведение двух целых чисел равно пулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Доказательство. Предположим противное, пусть существуют целые числа а и b такие, что а-Ь = 0, хотя а* 0 и b * 0. Тогда, по 3.3.6, я², 6² е JV, откуда 0 = a²b² е N, что противоречит 3.3.5. ?

3.3.8. Определение. Пусть (К, +, •) — кольцо. Элементы а, ЬеК называются делителями нуля, если а* 0, 6*0, но а • b = 0.

Например, в кольце классов вычетов Z₆ классы вычетов 2 и 3.

являются делителями нуля, так как 2*0 и 3*0, но 2 3 = 6 = 0. Отметим, что в кольце целых чисел нет такой «экзотики».

3.3.9. Предложение. В кольце целых чисел нет делителей нуля.

Доказанные свойства целых чисел стимулируют введение следующего общего понятия.

3.3.10. Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором нет делителей нуля.

Из доказанных выше свойств целых чисел вытекает.

3.3.11. Теорема. Кольцо целых чисел является областью целостности.

Другим примером области целостности является кольцо многочленов с целыми коэффициентами от одной переменной.

Упорядоченное кольцо целых чисел Введем на множестве целых чисел отношение «меньше».

• 3.3.12. Определение. Для любых целых чисел а и b положим а тогда и только тогда, когда b-aeN.
• 3.3.13. Теорема. Система (Z, <) является линейно упорядоченным множеством.

Доказательство. Согласно определению 2.4.7 линейно упорядоченного множества, нужно установить свойства трихотомии и транзитивности отношения <. Из определения системы целых чисел 3.1.2 и свойства 3.3.5 следует, что для любых a, 6eZ разность b-а принадлежит одному и только одному из подмножеств N, {0}, -N. Еслиб-аеМ, то по 3.3.12 а<�Ь, если b-а е {0}, то а = Ь, а если b-ae -N, то a-beN, откуда b < а.

Докажем свойство транзитивности. Пусть a, b, ceZ и а <�Ь, Ь<�с. Тогда b-aeN и c-beN, откуда с-а = (c-b)+(b-a)G N. Следовательно, а < с. ?

• 3.3.14. Определение. Упорядоченным кольцом называется система (К, +, •,, удовлетворяющая следующим условиям:
• 1) (К, +, •> - ненулевое кольцо;
• 2) (К,<) — линейно упорядоченное множество;
• 3) сложение и умножение монотонны, то есть для любых а, Ь_усеК, если а<�Ь, то а+с<�Ь+с (.монотонность сложения) и, если а < b и с > 0, то ас<�Ьс (монотонность умножения).

Легко видеть, что система (Z, +, •, является упорядоченным кольцом, которое называется упорядоченным кольцом целых чисел.

Из определения отношения < (3.3.12) следует, что среди целых чисел натуральные числа и только они положительны. Отсюда, по.

• 3.3.6, получаем, что квадрат любого целого числа отличного от нуля положителен. Рассмотрим эти свойства в общей ситуации.
• 3.3.15. Предложение. В упорядоченном кольце (К,

если a g К и аФ0, то а² > 0, и если е — единица кольца, то для любого п g N имеем пе> 0.

Доказательство. Из условия следует, что-либо а > 0, либо а < 0. Если а > 0, то, по свойству монотонности умножения, получаем а² >0. Если же а<0, то -а>0 и по доказанному (-я)(-а)>0,.

откуда по правилу знаков снова получаем а² >0.

Напомним, что пе обозначает сумму п слагаемых, каждое из которых равно е (см. 2.7.3). Неравенство пе>0 докажем индукцией по п. При п = 1 получаем е = е = е² > 0. Пусть пе > 0. Тогда, пользуясь свойством монотонности сложения, получаем (п +)е=пе+е > е > 0. ?

33.16. Теорема. В упорядоченном кольце целых чисел выполняется аксиома Архимеда: для любых целых чисел, а > 0 и b существует натуральное число п такое, что па >Ь.

Доказательство. Если b < 0, то можно взять п = 1. Для натуральных же а и b утверждение доказано в 2.6.7. ?

Забегая вперед, скажем, что аксиома Архимеда будет доказана также и для рациональных чисел. Таким образом, для натуральных, целых и рациональных чисел она является теоремой, и название «аксиома Архимеда» — лишь дань традиции. Только в определении системы действительных чисел это предложение встретится в качестве аксиомы, т.с. первичного свойства.

3.3.17. Теорема. В упорядоченном кольце целых чисел всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество содержит наибольший (соответственно, наименьший) элемент.

Доказательство. Пусть 0 * М с Z и М ограничено сверху целым числом Ь. Если A/nN*0, то МniV — подмножество натуральных чисел, ограниченное сверху натуральным числом />. По 2.4.16 оно имеет наибольший элемент, который, очевидно, будет наибольшим в М. Если MnN = 0, но 0бМ, то 0 и является наибольшим числом в М. Если же Л/ cz-/V, то -М а, N и по 2.4.18 -М содержит наименьший элемент, который обозначим через -т. Но тогда т — наибольший в М .

Пусть, наконец, М — непустое подмножество целых чисел, ограниченное снизу целым числом с. Тогда подмножество -М ограничено сверху целым числом -с и по доказанному имеет наибольший элемент к. Очевидно, -к является наименьшим элементом в М.