Отражение одномерной волны. 
Стоячие волны

Волна распространяется вдоль шнура или упругого стержня до его конца, затем происходит отражение, и волна идет назад. Не будем детализировать механизм этого отражения. Он будет зависеть от того, закреплена ли последняя точка. Пусть энергия волны не теряется (нет затухания), так что амплитуда отраженной волны равна амплитуде исходной.

Рассмотрим некоторую произвольную точку с координатой х. Через нее проходят две бегущие волны, распространяющиеся вправо и влево (рис. 2.83, а). Они вызывают смещения и и и':

Сложим эти два смещения. Поскольку сумма косинусов — это удвоенное произведение косинуса полуразности на косинус полусуммы, получаем результирующее смещение.

Получается уже не уравнение бегущей волны, фаза которой должна содержать время запаздывания x/v, а уравнение колебаний. Каждая точка х такой суммарной волны колеблется с частотой о и с амплитудой А, которая зависит от х. При этом некоторые точки, где cos(кх) = 0, не колеблются вовсе (U = 0), они называются узлами (рис. 2.83, б), а некоторые колеблются с двойной амплитудой U = 2щ, они называются пучностями. Косинус равен нулю там, где кх =(я/2)(2п+1). Это будет в точках.

Ближайшее расстояние между такими двумя точками будет.

Что будет в той точке, где происходит отражение: пучность или узел? Это зависит от того, свободна эта точка или закреплена. Пусть, например, шнур привязан к гвоздю, вбитому в стену. Гвоздь не может двигаться, следовательно, в результате сложения падающей и отраженной волн в этом месте должен получиться узел (рис. 2.84, а). Если же волна идет по стержню, который на конце не закреплен, точка, где происходит отражение, свободно колеблется, и в ней будет пучность (рис. 2.84, б).

В первом случае волна, дошедшая до точки отражения вперед горбом, пойдет назад вперед впадиной (пунктир на рисунке 2.84, а). Она как бы потеряла половину волны. Поэтому этот случай называют отражением с потерей полуволны. Во втором случае (рис. 2.84, б) волна и после отражения пойдет вперед горбом, и говорят, что Рис 2 85 отражение происходит без потери полу

волны.

Полезно запомнить, что отражение с потерей полуволны происходит от более плотной среды (стена), а с отражением без потери полуволны — от менее плотной.

Если колеблющийся шнур, струна или стержень закреплены с двух сторон, то на их длине I должно умещаться целое число полуволн (рис. 2.85):

Такие колебания называются собственными и возбуждаются наиболее легко (резонансно). Они могут происходить только при определенных частотах, так как v = v/X — nv/2l, где п = 1,2, 3,… Струна длиной I, натянутая между двумя неподвижными точками, может колебаться с частотами v/2l (основной тон, на ее длине умещается одна полуволна), 2v/2l (первый обертон, умещается две полуволны), 3v/2l (второй обертон) и т. д.

Эти частоты можно менять, «настраивая» струну. Настройка сводится к изменению скорости волны v, которая зависит от силы натяжения и массивности струны.