Скалярное произведение векторов

Определение 8. Скалярным произведением векторов а и Ь (МО) называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:

Как мы видим, формально такое определение скалярного произведения двух векторов согласуется с аналогичной величиной для двухи трехмерных векторов. Из данного определения следуют основные свойства скалярного произведения векторов, аналогичные указанным в п. 1.1.3:

• 1) аЪ-Ъа
• 2) (Xa)b = a (Xb) = X (ab), где X — действительное число;
• 3) a (b + c) = ab + ac;
• 4) яя>0, если я*б и яя = 0, если я = 0.

Определение 9. Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам 1—4, называется евклидовым.

Из содержания п. 1.1.3 становится понятно, как ввести понятие модуля вектора (его длины) и угла между векторами в виде обобщения на случай при п > 3.

Определение 10. Для векторов из «-мерного векторного пространства модуль вектора а и угол <�р между двумя ненулевыми векторами, а ~Ь определяются по формулам.

к «я Необходимое условие для формулы (1.15), что |cos (р| < 1, гарантируется неравенством Коши — Буняковского*, справедливым для любых двух векторов а и Ь:

Докажем это неравенство. Возьмем вектор с = ха + Ь, где х — любое число. Из свойства 4 следует, что сс>0, откуда в силу свойств 1—3:

Поскольку квадратный трехчлен в правой части этого равенства всегда неотрицателен, то его дискриминант должен быть неположительным, т. е. (ab)² ~(aa)(bb) <0, откуда и получаем требуемое неравенство.

Введем одно важное свойство векторов. Векторы а и b будем называть ортогональными_у если их скалярное произведение равно нулю:

Равенство (1.17) является аналогом условия перпендикулярности векторов в двухи трехмерном случаях, когда в формуле (1.15) cos ф = 0.