Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 5. Последовательность {лг_я} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер /V, такой, что при п > N (для всех элементов последовательности с номерами п> N) выполняется неравенство |х_я| > А.

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Обратное утверждение неверно: неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1,2, 1,3, 1,4,…, 1, я,… не является бесконечно большой, так как при А > 1 неравенство |х_я| > А не выполняется для всех элементов х_п с нечетными номерами.

Определение 6. Последовательность {ос_я} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа е существует номер N, такой, что при п > Л' выполняется неравенство |а_я| < 6.

Приведем примеры бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:

• 1) докажем, используя определение 5, что последовательность {я} является бесконечно большой. Возьмем любое число А > 0. Из неравенства х_п = |я| > А получаем я > А. Если выбрать N > А, то для всех я > /V будет выполняться неравенство |л_я| > А;
• 2) докажем, что последовательность {1/я} является бесконечно малой. Возьмем произвольное число е > 0. Из неравенства |а_я| < е и определения 6 получаем, что 1/я 1/е. Если принять N = [1/е}*, то для всех п > N будет выполняться неравенство я > (1/е} + 1 > 1/е, т. е. 1/я < е. Тогда согласно определению 6 последовательность {1/я} является бесконечно малой.

Теперь докажем теорему, устанавливающую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Теорема 7.1. Если {х_я} — бесконечно большая последовательность и все се члены отличны от нуля, то последовательность {/х_п} бесконечно малая. Если все элементы бесконечно малой последовательности {а_я} отличны от нуля, то последовательность {1/сх_я} бесконечно большая.

Доказательство. Пусть {х_я} — бесконечно большая последовательность. Для произвольно взятого числа е > 0 положим А — 1/е. Согласно определению 5 для этого А существует номер N, такой, что при я > N выполнено неравенство х_н > А. Отсюда получаем: 11/дг_я| = 1/]х_я| < /А = е для всех я > N, т. е. последовательность {1Д_Я} является бесконечно малой согласно определению 6. ?

Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

• •Символ |в| означает целую часть числа а, т. е. наибольшее целое число, нс превосходящее а. Например, [21 = 2, (2. 5| = 2, [0, 8) = 0, [-0, 5] = -I, (-23. 7| = -24.
• 7.1.4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема 7.2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.

Доказательство. Пусть {a_/f} и (р_я) — бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность {<�х_я ± р_я} бесконечно малая. Пусть е — про;

g.

извольнос положительное число, УУ, — номер, начиная с которого |а_я|<-,.

g.

a yv₂ — номер, начиная с которого |р_я|<- (такие номера найдутся согласно определению 6). Возьмем УУ = max (УУ, УУ₂). Тогда при п > Т одновременно выполняются два неравенства: |а_я|<- и |р_я|<-. Значит, при всех п> N

Но тогда согласно определению 6 последовательность {а_я ± р_я} бесконечно малая, что и требовалось доказать. ?

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 7.3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть {а_я} и {Р_я} — бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность {а_яр_я} бесконечно малая. Возьмем для первой последовательности произвольное положительное число е, а для последовательности {р_я} в качестве е возьмем 1. Согласно определению бесконечно малой последовательности: для {а_я} найдется такой номер N_v что |а_я| < е при п > УУ,; а для {р_я} найдется такой номер УУ₂, что 1Р_Я| < 1 при п > N₂. Примем УУ = max (TV, УУ₂), тогда при п > N будут выполнены оба неравенства. Значит, при п > N

Это и означает, что последовательность {а_нр_я} бесконечно малая. ?

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 7.4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть {д:_я} — ограниченная, а {а_я} — бесконечно малая последовательность. Докажем, что {х_яа_я} бесконечно малая последовательность. В силу ограниченности последовательности {х_я} существует такое число А> что любой элемент се удовлетворяет неравенству |х_я| < А. Поскольку последовательность с.

{а,.} бесконечно малая, для положительного числа — существует такой но;

А

мер N, что при всех п> N выполняется неравенство |а_я |<�—. Значит, при п> N

А

имеем:

Эта запись и означает, что последовательность |*"сс"| бесконечно малая. ?

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью.