Нечеткие подмножества конечных множеств

Пример 1. Рассмотрим последовательность Z_m, m = (r, q), пространств нечетких множеств, являющихся подмножествами конечных множеств.

(25).

функции принадлежности которых принимают значения из конечных множеств.

. (26).

Очевидно, число элементов пространства Z_m равно.

. (27).

Пусть f и g — функции принадлежности нечетких множеств, т. е. функции, отображающие Y_r в W_q. Естественно рассмотреть меру близости.

(28).

и окрестности.

. (29).

Если.

(30).

то, как нетрудно видеть, число элементов в рассматриваемой окрестности равно.

. (31).

Пусть p_m — вероятностная мера на Z_m, приписывающая всем элементам Z_m одну и ту же вероятность. Тогда при справедливости (30).

. (32).

Положим.

. (33).

Тогда.

F_m(f, t) = p_m{g: d₁(f, g) < t} = t (34).

в точках, в которых.

(35).

при некотором целом неотрицательном s. Функция Fm (f, t) имеет скачки в точках.

(36).

и кусочно постоянна между ними. Значит, при любых t, таких, что t_{s - 1} < t < t_s, имеем.

0 < t — F_m(f, t) < t_s — t_{s — 1}. (37).

Элементарные выкладки дают.

. (38).

Следовательно,.

. (39).

Для справедливости (24) и, следовательно, для применимости развитой выше теории ядерных оценок плотности достаточно, чтобы двумерный параметр m = (r, q) был связан с объемом выборки n таким образом, чтобы.

. (40).

Если, то.

(41).

и для справедливости (40) необходимо и достаточно, чтобы .

Ядерная оценка плотности имеет вид.

. (42).