Кинетика радиоактивного распада

Спонтанный распад ядра возможен в том случае, если масса продуктов распада меньше массы первичной частицы. Разность масс первичной частицы и продуктов распада распределяется среди продуктов распада в виде их кинетических энергий.

Уравнение радиоактивного распада (основной закон радиоактивного распада в дифференциальной форме) имеет вид:

где N — число атомов, не претерпевших распад к моменту времени t; X — константа; а — радиоактивность радионуклида, расп/с.

Закон радиоактивного распада — физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце.

Параметр X [с '] — константа радиоактивного распада (радиоактивная постоянная) — равна вероятности распада каждого отдельного ядра за единицу времени. Константа X характеризует неустойчивость ядер радиоактивного изотопа.

Постоянная распада X — статистическая вероятность распада атома за единицу времени; обратно пропорциональна средней продолжительности жизни атома изотопа. Является величиной постоянной для каждого радиоактивного изотопа и одной из основных его характеристик (константа распада).

Закон радиоактивного распада описывает убывание со временем среднего числа радиоактивных ядер (интегральный вариант):

где е — иррациональная константа (основание натурального логарифма), равная приблизительно 2,718.

Число радиоактивных ядер и активность вещества экспоненциально уменьшаются во времени (рис. 1.4, а). Постоянную распада X можно определить как тангенс угла наклона прямой, построенной в координатах lnJV — t (рис. 1.4, б).

В качестве меры устойчивости радиоактивного нуклида используют период полураспада Т_[/2, т. е. промежуток времени, в течение которого распадается половина данного количества радиоактивного нуклида:

Тогда.

Период полураспада — время, требующееся для распада половины ядер данного изотопа.

Из уравнения (1.24) получается формула, позволяющая быстро рассчитать степень распада радиоактивного изотопа в течение времени, кратного периоду полураспада:

Рис. 1.4. Типичная кривая радиоактивного распада:

а — исходный масштаб; б — полулогарифмический масштаб (Г_½ = 1,5 ч) Скорость распада -AN/At радиоактивных атомов называют абсолютной радиоактивностью препарата:

Для активности закон радиоактивного распада имеет вид:

где а₀ — активность в начальный момент времени (t = 0).

Активность радиоактивного вещества — отношение числа актов распада в радиоактивном веществе ко времени, в течение которого этот распад произошел.

Удельная активность радиоактивного вещества — отношение активности радиоактивного вещества к массе этого вещества.

Единицей удельной активности радиоактивного вещества является Бк/кг.

Беккерель (Бк) — единица активности радиоактивных изотопов в системе СИ, названа по имени А. Беккереля, соответствует одному распаду в секунду.

Среднее время жизни радиоактивных ядер

В течение времени т = Х/Х активность нуклида уменьшается до величины, составляющей /е от начального значения.

Среднее время жизни нуклида т — промежуток времени, в течение которого число имевшихся атомов уменьшается в е = 2,718 раз.

Единица активности в системе СИ — беккерель (Бк, Bq). Внесистемная единица — Кюри (Ки). 1 Ки = 3,7 • 10¹⁰ Бк; 1 Бк = = 1 расп/с = 2,7 • 10″ ¹¹ Ки.

Массу т (в граммах) радионуклида с активностью а рассчитывают по формуле.

где А — массовое число радионуклида; а — активность в беккерелях; Т_½ — период полураспада в секундах.

Пример 1. Начальная активность а₀ препарата ²²⁴Ra массой 0,2 мкг равна 4,31 • 10⁽' Бк, через 15 ч активность этого препарата уменьшилась до 3,83−10⁶ Бк. Чему равен период полураспада²²⁴Ra? Находим:

Пример 2. Определить период полураспада, постоянную распада и среднее время жизни ²³⁸Ри, если образец весом 0,3 г обладает активностью 1,9- 10^й Бк.

Решение.

Пример 3. За месяц непрерывной работы ускорителя было зарегистрировано пять событий распада ядер нового свсрхтяжслого элемента; при этом времена жизни каждого ядра составили 1,3 Ю ³ с; 1,1 • 10 ³ с; 1,3 • 10 ³ с; 1,4 • 10 ³ с и 1,2 • 10″ ³ с. Чему равен период полураспада этого изотопа?

Находим:

Если несколько веществ, содержащих различные радионуклиды, смешать вместе, то полная активность представляет собой сумму активностей всех веществ:

где — постоянная распада г-го радионуклида; п — число радионуклидов в смеси.

В качестве примера на рис. 1.5 представлена кинетика распада смеси двух радионуклидов, периоды полураспада которых различаются в 5 раз. Кинетика такого распада описывается формулой.

Для анализа кривой распада с целью определения количества компонентов в смеси, их относительных вкладов в суммарную активность, а также постоянных распада (т.е. определения типа изотопов элементов, участвующих в распаде) необходимо использовать нелинейный вариант метода наименьших квадратов.

Разложение кривой распада смеси радиоактивных веществ для двухкомнонентной смеси на элементарные составляющие проиллюстрировано на рис. 1.6.

Для получения удовлетворительных результатов определения радиоактивных постоянных необходимо проводить наблюдения распада с большой точностью (исходные актив;

Рис. 1.5. Распад смеси двух радионуклидов Л_{ и А₂. Влияние исходного состава смеси. Периоды полураспада:

Г, = 10 мин, Т₂ = 50 мин:

а — исходный масштаб (а —1)6— полулогарифмический масштаб (lgtf — t). Линиями на рисунке показаны доли /?, и р₂ изотопов а_л и а₂ в смеси: 1 — 0,0; 1,0; 2 — 0,1; 0,9; 5 — 0,2; 0,8; 4 — 0,3; 0,7; 5 — 0,4; 0,6; 6 — 0,5'; 0,5; 7 — 0,6; 0,4; 8 — 0,7; 0,3; 9 — 0,8; 0,2; 10 — 0,9; 0,1; 11 - 1,0; 0,0.

Рис. 1.6. Разложение кривой распада смеси двух радионуклидов на элементарные составляющие:

Т_х = 1,0 ч, Т₂ = 15 ч; /?₁ = 0,7, р₂ = 0,5:

а — обычный масштаб; 6 — полулогарифмический масштаб; кривая 1 — распад короткоживущего компонента; кривая 2 — распад долгоживущего компонента; кривая 3 — распад смеси компонентов ности должны быть достаточно велики) и измерять кинетику распада в течение времени не меньшего, чем два периода наиболее долгоживущего компонента смеси.

Пример. Препарат ²²⁴Ra (Г_½ = 4,63 дня) содержит примесь ²³⁴Th (Г_½ = 24,1 дня). Активность ²³⁴Th в препарате составляет 0,5% от общей активности. Какую долю от общей активности будет составлять активность через 10 дней?

Решение.

Атом, образовавшийся в результате радиоактивного превращения (продукт распада), может сам оказаться радиоактивным, испускать собственное излучение и иметь свой период полураспада, а затем распасться в новый радионуклид. В этом случае возникает цепочка радиоактивных распадов. Радиоактивные ряды встречаются в природе. Они насчитывают большое количество членов. Цепочки распада встречаются и среди искусственных радиоактивных изотопов, например:

Рассмотрим ситуацию образования радиоактивного дочернего продукта из радиоактивного предка:

Обозначим индексом 1 изотоп А, а индексом 2 — изотоп В. Уравнение, описывающее кинетику данного процесса:

где A, j и Х₂ — постоянные распада материнского и дочернего изотопов соответственно; N_i и N₂ — число ядер материнского и дочернего изотопов; t — время.

Решение этого линейного дифференциального уравнения имеет вид:

где ЛГ₁₀ и N₂₍₎ — значения ЛГ, и N₂ при t = 0.

Если в начальный момент времени дочерний изотоп отсутствовал, т. е. N₂₀ = 0, то.

Активность дочернего изотопа изменяется во времени, но закону:

или.

Кривая, демонстрирующая изменение во времени числа атомов второго изотопа, проходит через начало координат и имеет максимум в момент времени t_m:

В момент t = t_m скорость распада дочернего вещества X₂N₂ в точности равна скорости его образования А^ЛТ, т. е. а_л = а₂. Время точки перегиба кривой изменения активности дочернего t_nep = 2 t_m.

Рассмотрим общий случай превращения ряда радиоактивных элементов:

В цепочке из двух генетически связанных радионуклидов в зависимости от величин периодов полураспада дочернего и материнского нуклида возможны три ситуации: отсутствие равновесия, подвижное и вековое равновесия.

Если материнский радионуклид является более короткоживущим, чем дочерний (Т_{< Т₂, А, > Х₂)_} то равновесия в цепочке не наблюдается. По мере распада материнского вещества, предварительно очищенного от дочернего, количество дочернего нуклида увеличивается, проходит через максимум, а затем убывает (рис. 1.7). Кривая изменения активности в системе, где равновесие отсутствует, при N_2i) = 0 подобна кривой распада смеси генетически не связанных изотопов. Как всегда, в точке максимума активность материнского нуклида равна активности дочернего; в дальнейшем дочерний радионуклид распадается в соответствии с собственным периодом полураспада — долгоживущий потомок короткоживущего предка распадается по собственному закону. Снижение полной активности препарата на начальном участке кривой обусловлено распадом как материнского, так и дочернего изотопов; в дальнейшем материнское вещество полностью распадается, так что изменение активности определяется Т_{/2 дочернего изотопа.

Если материнский изотоп живет дольше дочернего (Г, > Г₂, X_t < Х₂), то достигается состояние подвижного радиоактивного равновесия: по истечении определенного времени отноше;

Рис. 1.7. Радиоактивный распад двух генетически связанных.

радионуклидов: материнский — дочерний. А_{ —-А₂ —^ Л, Т^< Т₂ — отсутствие радиоактивного равновесия, изменение активностей изотопов во времени:

а — обычный масштаб; б —логарифмический масштаб; 1 — распад материнского нуклида; 2 — распад дочернего нуклида в свободном состоянии (без материнского нуклида); 3 — распад дочернего нуклида при его образовании из материнского; 4 — суммарная кривая распада изотопов ние количеств радиоактивных атомов материнского и дочернего вещества, а следовательно, и отношение их скоростей распада становится постоянным. При достаточно большом t член е~^ делается пренебрежимо малым по сравнению с слагаемым N_we также можно пренебречь. Тогда.

Так как N_x = N_i0e~^k'^f, то

и равновесное количество атомов дочернего вещества равно:

Поскольку а_х = X_{N_V а₂ = X₂N_V то отношение измеряемых активностей равно:

Радиоактивное равновесие достигается, если [ 1 — е~^ ~^ki)t] = 1, т. е. практически после момента времени t > 10• Т_ХТ₂/(Т_Х — Т₂).

В зависимости от соотношения между А, и Х₂ величина а_х/а₂ может принимать любое значение от 0 до 1. При подвижном равновесии (после достижения максимума на кривой a₂(t)) дочерняя активность больше материнской на фактор A,_t/(A.₂ — А,). При равновесии активности обоих изотопов уменьшаются с периодом полураспада материнского нуклида (корот— коживущий потомок на иждивении долгоживущего предка).

При условии А,₂ > Х_х суммарная активность материнского и дочернего веществ (в первоначально чистой материнской фракции) со временем нарастает, а затем проходит через максимум; только после этого устанавливается подвижное равновесие.

При подвижном равновесии (ЛГ₂)_ра1Ш уменьшается по мере распада материнского изотопа:

На рис. 1.8 представлены кривые распада и накопления двух генетически связанных радионуклидов для случая подвижного равновесия. Наклон правой части кривой дочерне;

Рис. 1.8. Радиоактивный распад двух генетически связанных радионуклидов: материнский — дочерний.

Цепочка: ^ А₂ А, Г, > Т₂ — подвижное радиоактивное равновесие, изменение активностей радионуклидов во времени:

а — обычный масштаб; б — логарифмический масштаб; 1 — распад материнского нуклида; 2 — распад дочернего нуклида в свободном состоянии (без материнского нуклида); 3 — распад дочернего нуклида при его образовании из материнского; 4 — суммарная кривая распада изотопов го изотопа, построенной в логарифмическом масштабе, соответствует Ту

В точке, где активность дочернего нуклида достигает максимума, активность материнского нуклида всегда равна активности дочернего!

Вековым равновесием называется предельный случай радиоактивного равновесия, когда Т_х Т₂, Х_х Х₂ и когда в течение времени, равного многим периодам полураспада дочернего вещества, материнская активность заметно не уменьшается (рис. 1.9).

Пусть Х_{ X_v тогда:

т.е. в установлении радиоактивного равновесия определяющую роль играет только период полураспада дочернего нуклида. При вековом равновесии (t —?); X_xN_x = X.>N₂ или а_х = а₂. Здесь время t_m бесконечно велико.

Таким образом, увеличение числа атомов дочернего изотопа в первоначально очищенном материнском препарате зависит лишь от периода полураспада дочернего вещества.

Рис. 1.9. Радиоактивный распад двух генетически связанных радионуклидов: материнский — дочерний.

Цепочка: Л_х —^ Л₂ —^ Л, T_t^> Т₂ — вековое радиоактивное равновесие, изменение во времени активностей радионуклидов:

а — обычный масштаб; б — логарифмический масштаб; 1 — распад материнского нуклида; 2 — распад дочернего нуклида в свободном состоянии (без материнского нуклида); 3 — распад дочернего нуклида при его образовании из материнского; 4 — суммарная кривая распада изотопов За время, равное периоду полураспада Т₂ дочернего изотопа, накапливается половина равновесного количества его атомов. Состояние векового равновесия практически достигается при t > 10Г₂, в этом случае N₂ отличается от равновесного не более чем на 0,1%.

В случае радиоактивного равновесия имеем:

Здесь скорость образования дочерних атомов равна скорости их распада. Так как в данном случае я, = я₁₀, суммарная активность а определяется:

Это соотношение имеет большое значение для радиоактивных рядов, в которых материнский нуклид является долгоживущим нуклидом.

Количество атомов дочернего изотопа при вековом равновесии составит.

Если отделить равновесное количество атомов дочернего изотопа от материнского вещества, то уменьшение числа атомов дочернего вещества будет подчиняться основному закону распада:

Если в ряду генетически связанных радионуклидов устанавливается вековое равновесие, то справедливо следующее соотношение:

Пример. Из эманирующего препарата, содержащего 0,1 г ²²⁶Ra, после установления равновесия выделен ²²²Rn. Объем радона при нормальных условиях составил 6,5 • 10~⁸ л. Т_222Rn = 3,824 дня. Определить период полураспада ^22fiRa.

Находим:

Разновидностью общей схемы радиоактивного распада является разветвленный (двойной) распад. Ветвление озна;

чает, что при распаде радионуклида образуется не один дочерний нуклид, а два (иногда и несколько) нуклида. Например:

Наиболее часто встречается случай двойного распада:

где Х_в и Х_с — вероятности того, что нуклид А перейдет в нуклид В или С.

Если число атомов вещества А в данный момент — N_/V то скорость его распада:

Для скоростей образования В и С имеем соответственно:

При рассмотрении общего процесса распада следует учитывать обе константы Х_в и Х_с; при этом изотоп В образуется со скоростью X_BN_A однако вещество А распадается со скоростью (А.д+ X_C)N_A. Заметим, что изотоп А может иметь только один период полураспада, определяемый равенством:

Подобно частным (парциальным) постоянным распада Х_в и Х_с можно также ввести частные (парциальные) периоды полураспада Т_в и Т_с для превращения Ав В или С соответственно. Тогда.

Для парциальных периодов полураспада имеем:

Доля распадов, происшедших по i-й моде, задается уравнением.

Все встречающиеся в природе элементы с атомными номерами Z > 83 (висмут) радиоактивны. Они являются звеньями цепей последовательных радиоактивных превращений. Элементы, входящие в одну цепь, образуют радиоактивное семейство, или радиоактивный ряд. Известны четыре природных радиоактивных семейства. Так как при а-распаде масса атома изменяется на четыре единицы, а при р-распаде изменение массы пренебрежимо мало, то массовые числа элементов, образующих радиоактивный ряд, различаются на величины, кратные четырем. Поэтому возможно существование радиоактивных рядов четырех типов. Атомные веса членов этих рядов выражаются числами: Ап, Ап + 1, Ап + 2, Ап + 3.

Массовые числа элементов, входящих в семейство уран- 238 (Г_½ = 4,47 • 10⁹ л), определяются общей формулой Ап + 2, где п — целое число. Торий-232 (Г_½ = 1,405−10¹⁰ л) — родоначальник (4я)-семейства, или семейства тория, конечным стабильным продуктом которого является свинец с массовым числом 208. Семейство актиния (актиноурана), или (Ап + 3)-семейство, имеет родоначальником актиноуран AcU (²³⁵U, Г_½ = 4,468−10⁹ л), и конечным стабильным продуктом является ²⁰⁷РЬ. Нептуний-237 (Г, ₂ = 2,2−10⁶ л) — родоначальник семейства Ап + 1 (в настоящее время «вымершего»).

Семейства искусственных трансплутониевых радионуклидов, в отличие от природных, имеют главные и побочные ветви с разными родоначальниками, но начиная с некоторого общего члена, сливаются и повторяют природные ряды. Техногенные изотопы актинидов являются «предками» существующих в природе семейств. Например, ²⁴⁸Ст (Г_½ = 3,3−10⁵ л) относится к предшественникам ториевого семейства. ²⁴⁵Ст (7*½⁼ 8,5 • 10³ л) — предшественник нептуниевого семейства, ²⁴⁶Ст (Т_{/2 = 4,73−10³ л) и ²⁵⁰Cf (Г_½ = 6,9−10³ л) — предшественники уранового семейства, а ²⁴⁷Сш (Г_½ = 1,56−10⁷ л) — предшественник ряда актиноурана.