Применение производных в исследовании функций

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Теорема 10.1 (теорема Ферма*). Пусть функция/(х) определена на интервале (л, Ь) и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке х₀ е (л, Ь). Тогда, если в точке х₀ существует производная этой функции, то она равна нулю, т.с./'(х₀) = 0.

Доказательство. Ограничимся случаем наибольшего значения функции в точке х₀ (для наименьшего значения доказательство аналогично). Тогда для всех х е (л, Ь) выполнено неравенство f (x) </(х₀), что означает Ау = /(х₀ + Ах) -/(х₀) < 0 для любой точки х₀ + Ах е (л, b). Если х > х₀ (Ах > 0), то Ау/Ах <, 0, т. е.

если х <�х₀ (Ах < 0), то Ау/Ах? 0, т. е.

Таким образом, производная в точке х₀ слева неотрицательна, а справа неположительна, но, поскольку по условию теоремы в самой точке х₀ производная существует, /'(х₀) = /₊'(х₀) = /1(х₀). Последнее равенство возможно лишь в случае /₊^/(х₀)=/Г (х₀)=0, но тогда и /'(Xq) = 0, что и требовалось доказать. ?

Геометрический смысл теоремы Ферма показан на рис. 10.1: если в точке х₀ дифференцируемая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, то в точке М (х₀,/(х₀)) касательная к графику этой функции параллельна оси Ох.

Заметим, что теорема 10.1 неверна, если функция рассматривается на отрезке [л, Ь] в этом случае она может принимать наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка, где производная не равна нулю.

Теорема 10.2 (теорема Ролля**). Пусть функция/(х) непрерывна на отрезке [л, 6] и дифференцируема на интервале (л, Ь), причем /(л) = f (b). Тогда существует точка с е (л, Ь)> в которой /' © = 0.

•Ферма Пьер (1601 — 1665) — французский математик. ••Ролль Мишель (1652—1719) — французский математик.

Доказательство. Поскольку функция Дх) непрерывна на отрезке а, Ь], в силу второй теоремы Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего максимального М и минимального т значений, т. е. существуют такие точки х, х₂ е [а, 6|, что Дх,) = А/,/(х₂) = т. Тогда возможны два случая: М = т и М > т.

В первом случае/(х) = М=т = const; тогда/(х) = 0 везде на отрезке (а_у Ь], и теорема доказана.

Во втором случае хотя бы одно из двух значений М или т нс принимается на концах отрезка [а> />, поскольку f (a) = /(b). Значит, существует точка с е (а, b), в которой функция/(х) принимает наибольшее или наименьшее значение; в этом случае выполнены условия теоремы Ферма, и тогда/(х₀) = 0. Теорема доказана. ?

Геометрический смысл теоремы Ролля очевиден из рис. 10.2: если на концах отрезка непрерывная на нем и дифференцируемая внутри него функция принимает одинаковые значения, то хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка касательная к графику функции параллельна оси Ох.

Заметим, что все условия теоремы Ролля существенны. Рассмотрим несколько примеров с нарушениями условий теоремы.

• 1. Функция /(х) = х² непрерывна на отрезке [0, 1] и дифференцируема на интервале (0, I), однако на концах отрезка принимает разные значения 0 и 1; для нее не существует внутренней точки с, в которой / © «0 (рис. 10.3, а) и касательная была бы параллельна оси Ох.
• 2. Функция /(х) = |х| непрерывна на отрезке (-1, 1) и принимает на его концах равные значения (рис. 10.3, б); однако эта функция не имеет производной во всех точках интервала (-1, 1), в частности при х = 0, и потому нет такой внутренней точки с, в которой производная обращалась бы в нуль.
• 3. Функция, определяемая формулой

Рис. 10.1.

Рис. 10.2

Теорема 10.3 (теорема Лагранжа*). Пусть функция Дх) непрерывна на отрезке [a, bJ и дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда существует такая точка с е (а, Ь) у что справедлива формула.

Функция F (x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке [а, b] (как разность непрерывных функций), дифференцируема на интервале (я, b) (F'(x) -f{x) — f (b) —f (a)]/(b — а)) и принимает на концах отрезка (а, 6) одинаковые значения (F (a) = F (b) = 0). Тогда по теореме Ролля существует хотя бы одна точка с е (a_t b)_t такая, что F' © = 0. Но тогда.

/'(с)-^-^—^М=0, откуда и получаем утверждение теоремы. ?

Ь-а

Теорема Лагранжа имеет геометрический смысл (рис. 10.4). Секущая, проходящая через точки Л/, (a, f (a)) и M₂(b, f (/>)), имеет угловой коэффициент, равный [/(/>) — / (a)]/(b — а)_у а /'(с) — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке Л/(с,/(с)). Теорема Лагранжа утверждает, что существует хотя бы одна точка интервала (а, />), где касательная к графику параллельна секущей Л/, Л/₂.

дифференцируема на интервале (0,1) и принимает на концах отрезка [0, 1] одинаковые значения. Однако эта функция не является непрерывной на отрезке [0, 1], и потому не существует внутренней точки с, в которой /' © = 0 (рис. 10.3, в).

Отметим, что вытекающее из теоремы Лагранжа равенство называется формулой Лагранжа_у или формулой конечных приращений.

•Лагранж Жозеф Луи (1736—1813) — французский математик.

Теорема 10.4 (теорема Коши). Пусть функции/(х) и g (х) непрерывны на отрезке (я, b] и дифференцируемы на интервале (я, b), причем #'(х) * 0. Тогда существует точка с е (я, ?), такая, что справедлива формула.

Рассмотрим вспомогательную функцию на отрезке [я, ?):

Эта функция на отрезке (я, Ь удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке [я, />, дифференцируема на интервале (я, Ь) и F (a) = F (b) = 0. Стало быть существует точка с е (я, />), такая, что F' © = 0. Подставляя это условие в выражение для F' (х) при х = с, получаем:

Поскольку g' © ф 0, получаем формулу (10.2), что и доказывает теорему. ?

Формула f 10.2) называется формулой Коши, или формулой конечных приращений. Формула Лагранжа получается из формулы (10.2) как частный случай при g (х) s х.