Геометрический смысл двойного интеграла

Рассмотрим тело Р, ограниченное сверху поверхностью, описываемой непрерывной и не отрицательной в области D функцией z = /(х, у), снизу — областью D, а с боков — цилиндрической поверхностью, у которой направляющей является граница области D и образующие параллельны оси Oz (рис. 17.2). Такое тело называется криволинейным цилиндром.

Интегральная сумма (17.1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований А5, и высотам и/(?., т^). Эта сумма является приближенным значением объема тела Р:

Поскольку функция /(х, у) интегрируема, предел этой интегральной суммы существует и равен двойному интегралу от данной функции по области D, т.с.

Рис. 17.2.

Отсюда ясен геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл по области D от непрерывной неотрицательной функции равен объему криволинейного цилиндра с основанием D.

Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны свойствам однократною определенного интеграла. Здесь мы ограничимся формулировкой свойств двойного интеграла.

Пусть функции /(х, у) и ?(х, у) интегрируемы в области D.

1. Линейное свойство. Для любых вещественных чисел аир функция (а/(х,у) + pg (x, >>)] интегрируема в области Z), причем.

2. Свойство аддитивности. Если область D яачястся объединением областей Z), и ?>₂, не имеющих общих внутренних точек, и в каждой из этих областей функция А^Х>У) интегрируема, то данная функция интегрируема и в области D, причем

• 3. Произведение функций интегрируемо в области D.
• 4. Если /(х, у) < g (x, у) всюду в области D, то

5. Функция |/(х, у)| интегрируема в области D. причем

6. Теорема о среднем. Если функция /(х, у) непрерывна в области D, то найдется такая точка (?, Г|) е D, что.

где S — площадь области D.

7. Геометрическое свойство. JJldxdy равен площади области D.

о