Методика обучения учащихся решению логических задач как средства формирования рефлексивной деятельности

Включение логических задач в содержание обучения математике в качестве средства реализации ее развивающего потенциала, желание и готовность учителей шире использовать их в своей практике, на уроках и во внеклассной работе, актуализируют методический аспект проблемы.

При разработке методики обучения учащихся решению логических задач мы ставили следующие цели:

• • обучить учащихся решать логические задачи из разработанной нами системы задач;
• • в процессе решения логических задач осуществлять формирование рефлексивной деятельности учащихся.

В своем исследовании мы ориентировались на рабочее определение умения решать задачи, предложенное С. Е. Царевой: «Под общим умением решать задачи будем понимать умение, складывающееся из знаний о задаче и процессе ее решения (об этапах решения, способах их осуществления) и владения способами выполнения каждого из этапов при определенном уровне математических и иных знаний, которые используются при решении»^[1].

Владение учащимися общим приемом решения логических задач позволит им самостоятельно анализировать частные явления, предлагаемые в задачах, самостоятельно конструировать их, что предполагает, в свою очередь, сформированность мыслительных операций. Возможность использования сформированных знаний при решении задач одного вида для решения задач другого вида (прием переноса знаний) С. 35.

зависит от того, насколько верно ученик оценивает сходство задач с точки зрения способов их решения. Е. Н. Кабанова-Меллер^[2] выделила четыре основных способа переноса знаний. Эти способы характеризуются особенностями сопоставляемых задач и характером отношений между ними.

Первый способ переноса. Задачи, А и Б сходны между собой в значительной степени. В этом случае в задаче Б учащиеся используют метод в том же виде, в каком он был использован в задаче А.

Второй способ переноса. Задачи, А и Б значительно отличаются друг от друга. Учащиеся используют в задаче Б приемы в таком же виде, как и в задаче А, но при этом необходимо выполнение дополнительных действий с задачей Б.

Третий способ переноса. Особенности задачи Б таковы, что они не дают возможности использовать прием в том же виде, в каком он был использован в задаче А. В этом случае учащиеся выполняют дополнительные действия над приемом, оставляя задачу Б без изменения, а только затем используют измененный прием в задаче Б.

Четвертый способ переноса. Задача Б резко отличается от задачи А. Учащиеся выполняют дополнительные действия как над задачей Б, так и над используемым приемом.

Сначала опишем общие рекомендации, выработанные в ходе эксперимента и которые нужно учитывать при обучении учащихся решению логических задач с целью формирования их рефлексивной деятельности.

Этапы формирования рефлексивной деятельности учащихся в процессе обучения их решению логических задач можно представить следующим образом (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Этапы формирования рефлексивной деятельности учащихся при обучении решению логических задач.

Обучение решению логических задач будет в большей степени способствовать формированию рефлексивной деятельности учащихся, если на каждом этапе решения задачи фиксировать их рефлексивные действия. Для этого целесообразно использовать вопросы, предложения, активизирующие рефлексивные действия учащихся (табл. 2.3).

Вопросы и предложения, активизирующие рефлексивные действия учащихся на разных этапах решения задачи.

Как видим, при организации рефлексивной деятельности необходима организация диалога как между учителем и учащимся, так и между учащимися. Таким образом, в качестве основного приема организации рефлексивной деятельности можно выделить диалог в обучении. Во время занятия учителю необходимо задавать учащимся вопросы на осмысление как нового, так и ранее изученного материала. Вопросы должны иметь форму, которая подталкивала бы учащегося к переосмыслению ранее изученного материала, учила прогнозировать, находить связи между объектами.

«Учащийся ведет диалог с учителем и своими товарищами при решении различных задач. В процессе обучения внешний диалог постепенно переходит во внутренний диалог учащегося» (рис. 2.8) *.

Рис. 2.8. Проявление диалогичности в процессе обучения.

Предлагаемые задачи должны способствовать тому, чтобы школьник по-разному взглянул на условие задачи, попытался решить ее разными способами, оценил задачу и ее решение с разных точек зрения.

Источником рефлексии также могут служить ошибки и неопределенности. В случае, когда ошибки и неопределенности возникают на каком-либо этапе решения задачи, о том, что рефлексивные действия школьниками совершаются, можно судить по таким их репликам (табл. 2.4)^[3][4].

Таблица 2.4

Проявления рефлексивных действий.

Как ясно из табл. 2.4, учащиеся высказывают свое мнение, делятся им с другими, обсуждают непонятное. Это значит, что состоялась рефлексия и полученные в результате знания не исчезнут, а станут основой для дальнейшего учения.

Ранее мы отмечали, что единственный путь целенаправленного развития рефлексии в обучении — применение проблемного обучения и одной из важнейших форм реализации проблемности на уроках математики являются логические задачи. Разновидностью проблемного обучения является метод мозгового штурма.

После проведения уроков и внеклассных занятий с использованием метода мозгового штурма мы выделили проблемы, возникающие при использовании данного метода, и даем по этому поводу следующие рекомендации.

Если проблема, которую предлагает учитель, неинтересна детям, то в таком случае необходимо вернуться на стадию формулирования проблемы и еще раз сформулировать вопрос таким образом, чтобы пробудить интерес учащихся.

Если учитель критикует высказываемые идеи, то это приводит к угасанию творческой активности детей, поэтому учителю необходимо воздерживаться от любой критики на этапе высказывания идей.

Таким образом, в процессе обучения школьников решению логических задач с целью формирования и развития их рефлексивной деятельности необходимо учитывать следующее.

Решение логических задач будет в большей степени способствовать формированию рефлексивной деятельности учащихся, если в процессе решения задачи фиксировать рефлексивные действия учащихся.

В качестве основного приема организации рефлексивной деятельности можно выделить диалог в обучении.

Формированию и развитию рефлексивной деятельности будет способствовать применение проблемного обучения.

В ходе эксперимента нами разработана модель процесса обучения учащихся решению логических задач (рис. 2.9), которую целесообразно использовать в процессе формирования и развития их рефлексивной деятельности.

Дадим некоторые комментарии к разработанной модели. Решение любой логической задачи следует начинать с выделения и фиксации отношений между объектами задачи, тем самым относя задачу к одному из четырех типов системы. В обучении учащихся решению задач каждого типа можно выделить следующие этапы:

• 1) выделение и фиксация объектов задачи и отношений между ними;
• 2) составление алгоритмического предписания для решения задач;
• 3) на основании этапов 1) — 2) выбор метода решения задачи, который позволяет отразить действия, выполняемые в ходе решения задачи.

Рис. 2.9. Модель процесса обучения учащихся решению логических задач, ориентированного на формирование их рефлексивной деятельности

Эксперимент показал, что метод решения задачи, позволяющий отразить последовательность действий ученика в ходе ее решения, дает возможность учащимся восстановить процесс решения задачи, помогает найти и сформулировать ошибки в рассуждениях, т. е. осуществлять рефлексию своей деятельности. В результате такого подхода выделяется общий способ решения задачи, который затем переносится учащимися на целый класс подобных задач.

Представим пример решения задачи первого типа по составленному алгоритмическому предписанию в табл. 2.5.

Задача 1. На деревьях сидело зябликов больше, чем синиц, но меньше, чем галок; воробьев меньше, чем синиц, но больше, чем дятлов. Назовите птиц в порядке убывания их числа.

Решение задачи по составленному алгоритмическому предписанию представлено в табл. 2.5.

Эффективным способом фиксации условий задач второго типа и этапов их решения является использование таблиц.

Учащимся целесообразно предлагать задачи, при решении которых требуется пронумеровать последовательность заполнения знаков «плюс» и «минус» в таблице (пронумеровать действия по решению задачи). Приведем пример.

Таблица 2.5

Решение задачи!

Задача 2. В соревнованиях по бегу участвовали пять спортсменов. Дмитрию не удалось занять первое место. Григория обогнал не только Виктор, но и еще один спортсмен, отставший от Виктора. Андрей достиг финиша не первым, но и не последним. Борис финишировал сразу вслед за Дмитрием. Кто какое место занял в соревнованиях?

Решение задачи приведено в табл. 2.6 (цифрами отмечен порядок действий при заполнении таблицы).

Решение задачи 2.

Действия учащихся в процессе решения задачи с использованием таблицы становятся более осознанными, поскольку при ее заполнении порядок выполнения таких действий можно представить наглядно — визуализировать порядок действий. При обучении учащихся решению задач на соответствие и исключение верных и неверных вариантов целесообразно обратить внимание и на то, что ученик должен не только верно решить задачу, но и уметь комментировать свое решение. В ходе комментирования решения ученик должен восстановить ход своих мыслей, что играет немалую роль в процессе формирования его рефлексивной деятельности. Как показал эксперимент, учащимся не составляет большого труда воспроизвести ход решения задачи, если предложить им задание, в котором требуется числами пронумеровать последовательность заполнения знаков «плюс» и «минус» в таблице (пронумеровать свои шаги по решению задачи).

Задание «Отметить цифрами порядок заполнения знаков „плюс“ и „минус“ в таблице» учащиеся могут выполнять как совместно с учителем, так и самостоятельно. Это задание эффективно использовать на этапе анализа и проверки решения задач.

Фиксация и нумерация своих действий в процессе решения задачи нашли отражение и при решении задач третьего типа — задач на манипулирование предметами. Основная проблема при решении задач такого типа — выяснить, какие именно переливания делать. Эксперимент показал, что обучение учащихся решению задач на переливание с помощью таблиц делает решение задачи понятным для них. Более того, нумерация в таблице шагов (действий), выполняемых в процессе решения задачи, способствует формированию у учащихся обобщенного способа решения задачи.

При обучении решению задач на переливания целесообразно организовать работу с таблицей следующим образом.

На первом этапе учащимся предлагается готовое решение задачи, оформленное в виде таблицы, и требуется по данной таблице восстановить этапы переливания жидкости.

На втором этапе организуется поиск другого способа решения задачи.

На третьем этапе предлагается по условию задачи составить таблицу переливаний жидкости.

Полезно обратить внимание детей на то, что в таблице сумма чисел каждой строки равна числу, выражающему заданный объем жидкости; в каждом столбце не может стоять число, большее числа, задающего соответствующий для данного столбца объем жидкости. Приведем в виде таблицы решение следующей задачи.

Задача 3. Имеются трехлитровая банка сока и две пустые банки: одна — литровая, другая — двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трех банках было по одному литру сока?

Решение задачи представлено в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Решение задачи 3.

Рассмотрим процесс обучения учащихся решению задач четвертого типа — задач на установление истинности и ложности высказываний.

Эксперимент показал, что решения таких задач становятся понятными учащимся, если решать их методом графов или методом таблиц. Освоение этих методов при решении задач первых трех типов окажет в данном случае существенную поддержку. Рассмотрим решение задачи четвертого типа.

Задача 4. Четыре ученика Витя, Петя, Юра и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первые места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы: Петя — второе, Витя — третье; Сергей — второе Петя — первое; Юра — второе, Витя — четвертое. Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.

Решение. Первое высказывание: Петя — занял второе место, Витя — третье место.

Второе высказывание: Сергей — занял второе место, Петя — первое место.

Третье высказывание: Юра — занял второе место, Витя — четвертое место.

Таблица 2.8

Решение задачи 4.1-й шаг.

В результате заполнения табл. 2.8 получено противоречие — второе место заняли Петя и Сергей, поэтому таблица заполняется другими значениями истинности высказываний (табл. 2.9).

Таблица 2.9

Решение задачи 4.2-й шаг.

В итоге получили, что первое место занял Петя, второе — Юра, третье — Витя, четвертое — Сергей.

Обучение решению задач пятого типа — задач на определение количества элементов, обладающих данным признаком, целесообразно осуществлять, используя для решения таких задач метод кругов Эйлера. Подобно тому как визуализировались рассуждения с помощью графов, таблиц при решении задач предыдущих типов, эксперимент показал, что изображение кругов Эйлера и фиксация в них проводимых рассуждений позволяют наглядно представить действия по решению задач пятого типа. В основе метода кругов Эйлера лежит принцип разбиения множества на подмножества с выделением отношений между элементами подмножеств. В данном случае всегда строится чертеж, поэтому иногда этот метод называют графическим.

Для выделения обобщенного способа решения задач рассматриваемого типа учащимся перед учащимися ставится проблема, состоящая в составлении алгоритмического предписания для решения задач. Анализируя совместно с учителем решения нескольких задач пятого типа, учащиеся могут составить порядок действий, выполняемых при решении задач этого типа. Приведем алгоритмическое предписание для решения задач пятого типа и рассмотрим пример решения задачи по составленному алгоритмическому предписанию.

• 1. На кругах Эйлера записать множества, о которых идет речь в задаче.
• 2. По условию задачи определить, чему равно пересечение всех множеств (если это неизвестно, обозначить за х), и записать это на пересечении кругов.
• 3. Найти пересечение множеств попарно, учитывая значение, полученное в п. 2, и записать это на пересечении каждых двух кругов.
• 4. Найти количество элементов множества, обладающих только одним признаком, и зафиксировать это на кругах.
• 5. Для ответа на вопрос задачи использовать количество всех элементов множеств.

Задача 5. На крыше живут 44 Карлсона. 27 из них любят клубничное варенье (возможно, не только его), 25 — вишневое, 25 — абрикосовое, 15 — и вишневое, и клубничное (возможно, еще и абрикосовое),.

12 — и клубничное, и абрикосовое, 3 — все три вида варенья. Сколько Карлсонов любят только абрикосовое и вишневое варенье?

Решение. 1. Обозначим на кругах Эйлера следующие множества: множество Карлсонов, любящих вишневое варенье, — В, клубничное варенье, — К, абрикосовое варенье — А, вишневое и клубничное варенье — ВК, клубничное и абрикосовое — КА, абрикосовое и вишневое — АВ, клубничное, абрикосовое и вишневое — КАВ (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Круги Эйлера для задачи 5.

2. По условию задачи, 3 Карлсона любят и клубничное, и абрикосовое, и вишневое варенье — в пересечении всех трех кругов ставим 3 (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Занесение значения трех пересечений в круги Эйлера.

3. Тогда на пересечении вишневого, и клубничного надо записать 15 — 3 = 12; на пересечении клубничного и абрикосового — 12−3 = 9; на пересечении абрикосового и вишневого запишем х (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Занесение значений двух пересечений в круги Эйлера.

4. Только клубничное варенье любят 27−12- 3- 9 = 3 Карлсона, только абрикосовое — 25−9-3-х=13-х Карлсонов, только вишневое — 25 — 12 — 3 — х = 10 — х Карлсонов. Отметим это на кругах Эйлера (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Занесение значений одинарных элементов в круги Эйлера.

5. По условию задачи всего на крыше живут 44 Карлсона. Составим уравнение — суммируем все значения, фиксированные на кругах Эйлера, и приравняем сумму к 44:

откуда х = 6.

Таким образом, получили, что 6 Карлсонов любят абрикосовое и вишневое варенье.

Итак, для того чтобы процесс решения логических задач способствовал формированию и развитию рефлексивной деятельности учащихся, обучение решению этих задач должно проводиться так, чтобы учащиеся могли фиксировать порядок выполнения своих действий, восстанавливать процесс решения задачи, т. е. освоили метод решения задачи. Для достижения этих целей целесообразно решать логические задачи методом графов и методом таблиц (рис. 2.14).

Развитие рефлексивной деятельности учащихся трудно осуществить без создания учителем специальных условий. В качестве таких условий можно выделить следующие.

• 1. На всех этапах работы важно систематически ставить перед учеником различные вопросы, требующие от него уточнения того, что он должен сделать, что делает, что сделал, что должен узнать, что узнал, что нового в задаче или его действиях, какие причины мешают решить задачу, как преодолены возникшие затруднения и т. п. Содержание этих ответов позволяет судить о степени осознанности учеником и своих действий, и своих возможностей, действовать и вносить коррективы.
• 2.

  Введение

  новой задачи, которая по отдельным внешним признакам напоминает уже известную ученику, но по существу отличается от задач ранее решенных. В ходе выполнения этого задания ученик научится замечать несоответствие прежнего и нового результатов: теперь он рассматривает основные операции собственного действия с точки зрения их соответствия условиям задачи, указанному ранее образцу действия и т. п. В процессе такого рефлексивного отображения ученик устанавливает, во-первых, операции, входящие в то или иное действие, во-вторых, условия, необходимые для правильного выполнения каждой операции.

Рис. 2.14. Взаимосвязь решения логических задач с формированием рефлексивной деятельности

• 3. Целесообразно работу проводить, с одной стороны, в форме отчета о решенных задачах, что способствует развитию у учащихся умения соотносить способ решения задачи со спецификой ее содержания, взаимосвязью объектов, которые лежат в основе ее построения; с другой стороны — в форме предварительного обсуждения способов ее решения, причем как верных, так и неверных, что поможет детям лучше контролировать свои действия и оценивать, насколько они правомерны в данной ситуации.
• 4. Коллективно рассматривать, к какому типу принадлежат те или иные задачи, насколько и в чем сходны или различны способы их решения, по каким особенностям совпадают или не совпадают их условия.

В заключении выделим основные положения разработанной методики обучения учащихся 5—6-х классов решению логических задач.

• 1. Фиксация рефлексивных действий учащихся в процессе решения логических задач способствует формированию и развитию их рефлексивной деятельности.
• 2. В качестве основного приема организации рефлексивной деятельности можно выделить диалог учителя и учащихся в обучении.
• 3. Формированию и развитию рефлексивной деятельности способствует применение проблемного обучения, в частности метода мозгового штурма.
• 4. Развитию мышления школьников, формированию и развитию их рефлексивной деятельности способствует использование метода графов, метода таблиц и методов кругов Эйлера при решении логических задач, так как это позволяет:
  • • моделировать заданную ситуацию;
  • • фиксировать последовательность действий при решении задачи;
  • • восстановить ход мыслей;
  • • устранить ошибку в рассуждениях.

• [1] Царева С. Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников. Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1998.
• [2] Кабанова-Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельностии умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968.
• [3] Котенко В. В., Шаров Д. А. Методика развития критического мышления школьников в процессе обучения базовому курсу информатики // Математика и информатика: наука и образование. Межвуз. сб. науч. тр. Ежегод. выпуск 1. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001.С. 238.
• [4] Ворожищева Н. Н. Методические приемы активизации образовательного процесса: метод, пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999.