В математической статистике доверительные интервалы используются для того, чтобы дать представление о точности и надёжности оценки Ю, так как вычисленная на основании имеющихся выборочных данных оценка Ю(1, 2, …,) параметра является лишь приближённым значением неизвестного параметра даже в том случае, когда эта оценка состоятельна, несмещённая и эффективна.
Для этого вычисляют величину, которая с определённой достоверностью гарантировала бы выполнение неравенства | Ю? | <. Т. е. выполнялось бы следующее соотношение:
Вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки.
Широкий доверительный интервал указывает на то, что оценка неточна; узкий указывает на точную оценку.
Ширина доверительного интервала зависит от размера стандартной ошибки, которая, в свою очередь, зависит от объёма выборки и при рассмотрении числовой переменной от изменчивости данных дают более широкие доверительные интервалы, чем исследования многочисленного набора данных немногих переменных.
Для построения доверительного интервала математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении необходимо построить следующий где а — оцениваемое математическое ожидание, х — выборочное среднее, п — объём выборки, t — значение аргумента функции Лапласа Ф0(t), при котором Ф0(t) = /2.
С вероятностью можно утверждать, что вычисленное по выборке? даёт значение математического ожидания с точностью. v Величина = называется предельной ошибкой выборки.
Итак, = 0,95, это означает, что найденная по таблице Лапласа величина t = 1,96; найденная величина = 0,21 071; величина выборки п = 57; ?= -0,3 284.
Таким образом,.
(?0,3 284? 0,547 < < ?0,3 284 + 0,547) = 0,95 (?0,875 < < 0,219) = 0,95.
Это означает, что с вероятностью 95% можно быть уверенным в том, что интервал (?0,875; 0,219) накроет параметр а.
Для построения интервальной оценки дисперсии параметра 2 используется неравенство: накрывает неизвестное значение 2 с заданной вероятность.
Итак, = 0,95, это означает, что найденная по таблице Лапласа величина t = 1,96; выборочное среднее квадратическое отклонение s = 0,21 259; величина выборки п = 57; среднее значение ?= -0, 0,3 284.
Итак, с доверительной вероятностью = 0,95 можно утверждать, что среднее квадратическое отклонение будет находиться в интервале (0,1 542; 0,3 256). см. 1].
