Основные типы преобразований и этапы их изучения

Линия тождественных преобразований и уровень строгости ее изложения в школьных учебниках реализуется по-разному.

Понятие тождества.

В одних учебниках вводятся последовательно все три определения тождества. Их появление связано с расширением множества чисел, на котором рассматриваются тождества. Например, в учебнике алгебры под редакцией С. А. Теляковского вводится понятие тождества на первом этапе изложения курса (7-й класс). Оно определяется как равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных. Следует отметить, что этому определению предшествует определение тождественно равных выражений: два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

С введением дробно-рациональных выражений (8-й класс) авторы возвращаются к понятию тождества и определяют тождество как равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

В других учебниках, например учебнике алгебры (автор Ш. А. Алимов и др.), понятие тождества введено после доказательства теоремы у[а* =а. Оно определяется как равенство, справедливое при любых значениях входящих в него букв. Заметим, что в этом варианте построения теории основная базовая теория тождественных преобразований излагается без введения понятия тождества, тождественно равных выражений. Практическая часть (задачный материал) также не оперирует этими терминами.

Но независимо от введения понятия тождества фактически во всех учебниках рассматриваются определенные типы преобразований и реализуются этапы их изучения. Целесообразно при введении нового типа ТП показать значимость преобразований этого типа, т. е. смотивировать их изучение.

Для мотивации изучения тождественных преобразований можно применить прием М. П. Синельникова^[1]. Учитель дает довольно слож;

* (64а³ + 125 Ь³)

ное алгебраическое выражение, например: ——-—.

^{F F} > и f (16а² — 20ab + 256²).

и предлагает вычислить его значение при значениях букв, задаваемых учениками. Учитель сразу дает ответ, который учащиеся могут найти лишь после более или менее продолжительных вычислений. Этот прием подводит учеников к понятию «тождественные выражения», вызывает у них интерес к изучению правил, по которым можно данное сложное выражение заменить более удобным для вычислений.

Перечислим основные этапы изучения преобразований и типы рассматриваемых преобразований.

Пропедевтический этан. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность), производятся в начальной школе и 5—6-х классах. Также преобразования могут осуществляться на основе связи между компонентами и результатом действия.

Первый этап. Используется нерасчлененная система преобразований, которая представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями равенства в начале курса алгебры. Подобные явления мы наблюдаем, когда требуется решить уравнение 4(5х — 12) = 6х + 15 или доказать, что значение выражения 13(2у — 3) — (2х + 26г/) — 2(4 — х) не зависит от значения входящих в него переменных. Цель этого этапа — достичь беглости при решении основных типов задач по линиям числа, уравнений, тождественных преобразований рациональных выражений (7-й класс).

Этап охватывает следующие темы.

1. Сложение и вычитание, умножение одночленов и многочленов. Первые преобразования — приведение одночленов к каноническому виду на основе переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного) свойств умножения.

В этой теме наиболее типичными ошибками учащихся являются следующие:

• смешение правила умножения степеней е правилом возведения В СТСШ’нт.*

• • распространение правила умножения степеней одного основания на случай умножения степеней разных оснований: 2^D* 8⁴ считают равным 16⁹;
• • сложение показателей степеней при сложении степеней (смешение с правилом умножения степеней): 2³ + 2⁴ заменяют через 2³⁺⁴ = 2⁷;
• • неправомерное применение распределительного закона: (.х + у)²заменяют на х² + у².

Предупредить такие ошибки можно, если обращать внимание учащихся на особенности каждого действия, на значение каждого слова в формулировке правила, соответствующей им; если обучать проверке наличия условий для применения соответствующего правила перед началом выполнения преобразования.

2. Формулы сокращенного умножения. Полезно иллюстрировать геометрически различные преобразования, в частности формулы сокращенного умножения. Это позволит создать условия для усвоения учебного материла учащимися, опирающимися на образы, использовать разные способы представления информации и наглядно показать различие между формулами, которые учащиеся часто путают, например: а² — Ь²{рис. 12.2) и {а — b)² (рис. 12.3), сравнив площади заштрихованных фигур.

Рис. 12.2 Рис. 123

Для иллюстрации формул, в которые входят выражения третьей степени, необходимо использовать пространственные образы.

Целесообразность использования в этой теме выражений «неполный квадрат» вызывает сомнения у некоторых методистов^[2] и предложение не давать название этому выражению, ведь а² + 2ab — тоже неполный квадрат. Использование вместо двух действий одного — алгебраического сложения — позволяет уменьшить количество формул сокращенного умножения.

Показывая учащимся применение метода ТП к определенному виду выражений, целесообразно сформулировать рекомендации по его освоению. Например, для целых алгебраических выражений могут быть предложены следующие рекомендации.

Рекомендация 1. Читайте и применяйте все формулы математики как слева направо, так и и справа налево.

Рекомендация 2. При выполнении задания на определение, являются ли выражения тождественно равными, для опровержения тождественности достаточно привести числовой пример, а для доказательства тождественности использовать один из способов:

• • проверить по определению тождественно равных выражений — имеют одну и ту же область определения и принимают равные числовые значения при всех допустимых значениях переменных, входящих в них, что возможно только на области определения, состоящей из небольшого колическтва элементов;
• • обосновать, что все использованные преобразования тождественные, а значит, позволяют заменять одно выражение другим, тождественно равным первому.

Рекомендация 3. Приступая к преобразованию выражения, в первую очередь обратите внимание на вид или структуру выражения. Попробуйте применить к выражению формулы сокращенного умножения в структурном виде, в частности, например, для формулы квадрата суммы (® + П)² = (8)² + 2П<8) + П², где вместо кружка и квадрата можно подставить любое выражение, состоящее из одной буквы или числа, или нескольких и их сочетаний, или способ группировки, найдя общие множители.

Рекомендация 4. При разложении квадратного трехчлена на множители попробуйте последовательно выполнять следующие шаги:

• 1) найдите общий множитель и вынесите его за скобку;
• 2) проверьте, нельзя ли применить формулы сокращенного умножения;
• 3) проверьте, нельзя ли применить теорему Виета;
• 4) используйте формулу корней квадратного уравнения для четного второго коэффициента при переменной в первой степени или для нечетного;
• 5) попробуйте выделить полный квадрат;
• 6) попоробуйте для группировки представить некоторые слагаемые в виде суммы других.

Рекомендация 5. Требования к заданиям могут быть сформулированы по-разному, хотя способы решения могут оказаться одними и теми же. Например, требования «представить в виде произведения» и «разложить на множители» к одному и тому же заданию предполагают один и тот же способ решения. Требование «сократить дробь» предполагает разложение на множители числителя и знаменателя, т. е. представление в виде произведений. В приведенных ниже заданиях мы даем, по-возможности, разнообразные формулировки. Читая задания, пытайтесь переформулировать, чтобы требование было понятным вам.

Второй этап. Выделение конкретных видов преобразований и формирование умений и навыков их применения.

Этого требует расширение области применения тождественных преобразований — фактически весь курс алгебры и начал анализа, где имеют место преобразования дробно-рациональных, иррациональных, трансцендентных выражений. Причем на этом этапе целесообразно сравнить два класса преобразований: тождественные преобразования (преобразования выражений) и равносильные преобразования (преобразования формул). Если первые мы применяем к выражениям, то вторые к равенствам, неравенствам или их системам.

Равносильным преобразованием уравнений (неравенств, их систем) на множестве М называют переход от уравнения F (x_v х₂) = О (неравенства, их систем) к равносильному уравнению G (x_v х₂) = О (неравенств, их системам) на М. Два уравнения (неравенства) F (x_v х_п) = 0 и G (.r,…, х_п) = 0 (или < 0) называют равносильными на множестве Мс /?", если множества их решений, принадлежащих М, совпадают или они не имеют решений.

В п. 5 (введение в тему) под буквой а) дан пример тождественного преобразования (применено к выражению, стоящему в левой части уравнения), иод буквой б) — равносильного (применено к обеим частям равенства).

На втором этапе также необходимо обратить внимание учащихся на правильное оформление упражнений на доказательство тождеств. В практике случается, что доказываемое тождество переписывают несколько раз, одновременно преобразуя обе его части, доводят работу до получения очевидного тождества (записывают, например, что 0 = 0). Но при этом доказательство нельзя считать законченным, ибо можно прийти к верному предложению исходя и из неверного соотношения, например, возводя в квадрат заведомо неверное равенство (-4 = 4). Поэтому следует либо преобразовывать одну из частей доказываемого тождества, заменяя ее последовательно тождественными выражениями, пока не получится выражение, стоящее в другой части доказываемого тождества, либо по отдельности преобразовывать обе части предложенного для доказательства тождества до получения одного и того же выражения.

Из разных типов алгебраических преобразований (целых, рациональных, иррациональных) именно ТП иррациональных выражений вызывают большие трудности у учащихся, что в первую очередь связано с многозначностью символа «л[а». Поэтому ниже мы остановимся на обучении этой теме подробнее.

Третий этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).

Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного аппарата, являющегося средством решения задач различного уровня.

Умение различать разные виды преобразований базируется на распознавании разных видов выражений. Для проверки сформированности этого умения учащимся могут быть предложены задачи следующего типа.

Установите соответствие между выражением и его видом.

а) Рациональное выражение.

Пример

• б) Целое рациональное выражение
• в) Дробно-рациональное выражение
• г) Иррациональное выражение

• [1] Синельников М. II. О привитии учащимся интереса к математике.
• [2] Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. организаций / Ю. Н. Макары-чев [и др.]; под ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2015.