Вариационная задача на условный экстремум. 
Метод множителей Лагранжа

Вариационной задачей на условный экстремум называют задачу, в которой необходимо определить экстремум функционала с учетом того, что функции, от которых зависит функционал, должны подчиняться определенным условиям.

Для решения таких задач применяются так называемый метод множителей Лагранжа. Рассмотрим этот метод на примере задачи с двумя неизвестными функциями.

Пусть требуется найти экстремум функционала при условии

Согласно методу множителей Лагранжа составляем вспомогательную функцию.

где A.(*) — пока неизвестная функция, и ищем обычным способом экстремум функционала

Всего требуется найти три неизвестные функции: у, z и Х (;с). Чтобы их определить, запишем два уравнения Эйлера для функционала Г и уравнение связи:

Из этих трех уравнений и находим искомые функции.

Функция Х (х) называется множителем Лагранжа.

Докажем справедливость такого приема.

Предположим, что экстремум функционала l[y, z] достигается на кривых у = у (х) и z = z (x). Прибавим к этим кривым вариации 8у и бz, которые будут не равны нулю лишь в некоторой точке х_с и се малой окрестности, причем ;с₀ <�х_с <*,. Вычислим вариацию функционала / при переходе от кривых у = у (х) и z = z[x) к кривым у + 6у и z + 8z (рис. 1.38).

Известным уже способом находим.

Рис. 1.38. К выводу метода множителей Лагранжа

Учитывая, что вариации в окрестности х_с обладают фильтрующим свойством, т. е. бу и 6z равны нулю всюду, за исключением малой окрестности х = х_с, можем записать:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

С другой стороны, ясно, что проварьированная кривая у + ду; z + 5z должна, как и исходная, лежать на поверхности (р (*, у, z) = 0, поэтому Обозначим Тогда.

но в силу фильтрующего свойства вариаций имеем.

Предполагая, что <�р_у, (р₂ Ф 0, найдем.

Подставим это значение ст₂ в выражение для вариации:

или Откуда Условием экстремума функционала / является равенство нулю вариации 5/, причем для любого х, поэтому.

Таким образом, правило множителей Лагранжа доказано.

1. Метод множителей Лагранжа легко распространяется на случай произвольного числа функций и ограничений.

Пусть задан функционал.

и уравнения связи.

Требуется найти экстремали.

Составляем вспомогательную функцию.

•ч и находим экстремали для функционала J F*dx.

Задача сводится к решению системы уравнений Эйлера:

которые вместе с уравнениями связи позволяют найти (/? + &) неизвестных функций [п неизвестных функций y_t (/' = 1, 2,…,п) и к неизвестных функций Xj (x)_y 7 = 1,2,…,*)].

2. Метод остается справедливым, если уравнения связи содержат производные от неизвестных функций, т. е. являются дифференциальными уравнениями:

• -ч
• 3. Для вспомогательного функционала /* = J F*dx остаются спра-

ведливыми условия трансверсальности.