Идентификация нелинейных двухполюсников

Постановка задачи. Для простоты и удобства проведения теоретических исследований математическую модель нелинейных двухполюсников (НД) целесообразно представить в явном виде: у = Ах, где А — нелинейный оператор; д: — воздействие; у — отклик.

Задача идентификации НД состоит в определении оператора А по известным воздействию x (t) и отклику >'(0, при этом должны быть конкрс;

тизированы структура или форма оператора и найдены его количественные характеристики.

Выбор структуры оператора А. Простейшей моделью НД может служить однокомпонентная модель, для которой оператор А выражается нелинейной функциональной зависимостью у =Дх). Однозначная характеристика у =Дх) соответствует идеальному НД. Так как реальные НД обладают в общем случае нелинейными диссипативными и консервативными (см. и. 1.2) свойствами, характеристика у =Дх) является неоднозначной (гистерезисной при периодическом воздействии) функцией, зависящей от формы воздействия, что создает известные трудности при описании модели. Поэтому целесообразно представить НД двухкомпонентной моделью в виде схем замещения, изображенных на рис. 1.

Рис. 1. Двухкомпонентные модели нелинейных двухполюсников.

Модели «А» и «В» относятся к нелинейным емкостным двухполюсникам, управляемым соответственно напряжением и зарядом, модели «В» и «Г» — к нелинейным индуктивным двухполюсникам, управляемым потокосцспленисм и током. Каждый из компонентов модели представляет собой двухполюсник с однозначной характеристикой. Такие двухполюсники будем называть безынерционными нелинейными двухполюсниками (БНД). Один из БНД моделей на рис. 1 отражает консервативные (способность к сохранению энергии) свойства, а другой — диссипативные (способность к поглощению энергии) свойства реальных НД. Как показано ниже, свойства диссипативных моделей «/>», «Г» не могут быть отражены с помощью БНД, описываемых вольт-амперными характеристиками м_б(0, /'б (м).

Схемы замещения на рис. 1 позволяют получить выражения для отклика НД и, следовательно, выявить структуру оператора А, которая сводится к двум формам:

гдef F— однозначные нелинейные функции воздействия х; индексы «д» и «и» относятся к нелинейным операторам А, включающим в себя линейные операторы дифференцирования и интегрирования соответственно. При выбранном операторе А задача идентификации НД сводится к определению характеристик /(х), F (x) БНД.

Свойства тестовых сигналов. Допустим, что воздействие x (t) представляет собой:

=> периодическую функцию с периодом Т

=> четную функцию, для которой.

=> монотонно убывающую (для определенности) функцию на отрезке [О, 772], причем.

на отрезке [0, 772] существует по отношению к л^/) обратная функция t = /(х) и ее производная tx) = dt/dx.

Воздействие с указанными свойствами будем называть тестовым сигналом (ТС). Запишем выражения для ТС в следующем виде:

гцеХ_т— амплитуда ТС; Х₀ — смещение; Г|(/) — периодическая функция. Для ТС косинусоидальной формы.

О существовании и единственности решения задачи идентификации НД. Пусть отклик y (t) НД на ТС (4) является периодической с периодом Т функцией, которую представим в виде суммы четной и нечетной составляющих:

Примем во внимание следующие факты:

=> при воздействии на двухполюсник с однозначной характеристикой z =J[x) колебания, г (/) в виде четной функции (2) его отклик является также четной функцией z,(/);

=> в результате дифференцирования или интегрирования четной функции г_ч(0 получается нечетная функция.

Тогда, как следует из (1), БНД с характеристикой fix) создает четную составляющую, а БНД с характеристикой F (x) — нечетную составляющую отклика (6). Таким образом, ТС позволяет «распознать» отклики, создаваемые БНД двухкомпонентной модели (1), что свидетельствует о существовании решения. Единственность решения обусловлена свойством монотонности ТС на отрезке [0, 772].

Для моделей Б и Г (рис. 1) БНД с характеристиками м_б(/), /_б(м) создают синусоидальные составляющие нечетных гармоник и косинусоидальные составляющие четных гармоник отклика (6), представленного в виде тригонометрического ряда Фурье. Поэтому эти модели, с одной стороны, не обладают полнотой, так как в отклике (6) отсутствуют четные гармоники синусоидальных составляющих; с другой стороны, четные гармоники косинусоидальных составляющих создаются обоими БНД модели, что делает задачу идентификации БНД математически неразрешимой.

Рассмотрим один из методов идентификации.