Примеры решения задач

Задача* 7.1. Найти момент инерции обруча, радиус которого равен R = 30 см и масса т = 200 г относительно оси, проходящей через его центр и лежащей в плоскости кольца.

Дано: Решение. Момент инерции находится по формуле.

R = 0,3 м момента инерции для сплошного однородного тела: т = 0,2 кг.

j ~?

Интегрирование данного выражения производится по всем точкам тела, где г — расстояние от выбранной точки до оси вращения.

Выделим на обруче элемент длиной d/, массой d/w = -^—d/. Положение элемента d/ отно- 2 я R

сительно центра обруча можно определить углом (р и радиус вектором г. При этом d/ = tfd (p, г = /?cos (p. Из этого следует.

Для нахождения момента инерции обруча интегрируем это выражения в пределах от (pi = (-я/2) до (р2 = (я/2). Полученный результат удваиваем:

Ответ: J = 9 • КГ³ кг • м²

Задача 7.2. Горизонтальная платформа, масса которой т = 250 кг, имеет форму диска, радиус которого R = 2,5 м. Платформа может вращаться относительно оси, проходящей через её центр. Какая будет угловая скорость со платформы, если вдоль её края будет двигаться человек массой т = 75 кг со скоростью и = 2,5 м/с относительно платформы?

Дано:

т = 250 кг m2 = 75 кг R = 2,5 м и = 2,5 м/с.

W-?

Решение. Согласно условию задачи платформа, на которой находится человек, вращается по инерции. Это говорит о том, что момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю. Систему «платформа — человек» будем считать замкнутой. Применим к этой системе закон сохранения момента импульса: где L =6 ₂)R — момент импульса человека относительно оси вращения 1.

платформы; L- - момент импульса платформы с человеком:

1 2 2.

где ./_п =— m^R, J₄ = nhR — момент инерции платформы и человека, соответственно.

Получаем:

Проверим размерность: [со] = - =с *.

[мскг Из уравнения (1) находим угловую скорость:

Ответ: (0 = 37,5−10'² с" ¹.

Задача 7.3. Тонкий однородный стержень длиной / = 0,8 м имеет горизонтальную ось вращения, проходящую через его конец. Найдите скорость нижней точки стержня, когда стержень проходит положение равновесия при отклонении его от вертикали на угол, а = 30°.

Дано: Решение. При отклонении стержня на.

/ = 0,8 м угол, а от положения равновесия его центр, а = 30° поднимется на высоту h, которую можно ^ _ 9 определить из треугольника АОВ

При этом потенциальная энергия стержня увеличивается на величину AU = mgh, где т — масса стержня.

При прохождении стержнем положения равновесия потенциальная энергия AU переходит в кинетическую энергию:

где Умомент инерции стержня; со — угловая скорость вращения стержня. Для стержня, ось вращения которого проходит через его конец,.

По закону сохранения энергии.

Из выше указанных уравнений получим:

Из этого уравнения найдем угловую скорость:

Проверим размерность:

Линейная скорость:

Ответ: о = 1,78 м/с.

Задача 7.4. На барабан массой М = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 2 кг. Считая барабан однородным цилиндром и пренебрегая трением, определите ускорение груза.

Да но. Решение: Согласно закону сохранения энергии при.

М=9 кг опускании груза его потенциальная энергия переходит в т = 2 кг кинетическую энергию груза и кинетическую энергию вра;

_ щения барабана:

а — ?

где J — момент инерции барабана.

_ Mr² о Учитывая, что J — ^ > (о = —, где г — радиус барабана, запишем уравнение (1)в виде Груз опускается иод действием постоянной силы, поэтому его движение равноускоренное, следовательно.

Подставим (3) и (4) в (2):

Из уравнения (5) получим искомое ускорение груза а = ——.

М + 2т

Г 1 Гкг-м 1 м 2−2-9,8 2.

Проверим размерность: [а = -у = —. а =-= 3,02 м/с .

|_кг-с J с 9 + 2−2.

Ответ: а = 3,02 м/с².

Задача 7.5. Круглое однородное тело (обруч, цилиндр, шар) радиусом R и массой т скатывается без скольжения по наклонной плоскости под углом, а к горизонту с высоты h (рис). Начальная скорость тела равна нулю.

Найти скорость центра масс в конце спуска. У какого из тел (обруч, цилиндр, шар) конечная скорость будет наибольшей и наименьшей?

Решение: Используем закон сохранения полной энергии. В конце спуска тело приобретает кинетическую энергию.

Эта кинетическая энергия приобретена за счет потенциальной энергии mgh. Отсюда следует выражение для скорости в конце спуска:

Подставляя сюда моменты инерции обруча (J = mR²), цилиндра (J = mR²/2)и шара (У = 0,4mR²), находим.

Ответ: скорость обруча наименьшая;

скорость шара наибольшая.