Три теоремы подобия

Теория подобия является теорией эксперимента. При проведении опыта необходимо знать:

• • какие величины следует измерять в опыте;
• • как обрабатывать результаты опыта;
• • на какие явления можно распространить полученные результаты.

Основы теории подобия базируются на трех теоремах, которые и дают ответ на поставленные вопросы.

Как уже указывалось, константы подобия не могут выбираться произвольно. Если явления подобны, то между константами подобия имеются определенные зависимости, ограничивающие произвольность выбора. Последнее объясняется тем, что сами физические величины, определяющие течение процесса, связаны между собой определенными уравнениями, отражающими законы природы. Примерами таких уравнений являются выведенные в параграфе 8.2 дифференциальные уравнения энергии, движения вязкой жидкости, сплошности. Используя эти уравнения, можно получить безразмерные комплексы, составленные из величин, характеризующих это явление. Эти безразмерные комплексы называют критериями (числами) подобия.

Критерии подобия для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Поэтому первую теорему подобия можно сформулировать следующим образом: у подобных явлений одноименные критерии {числа) одинаковы. Критерии подобия всегда имеют определенный физический смысл. Их обычно обозначают начальными буквами фамилий выдающихся ученых, работавших в соответствующих областях науки.

Необходимой предпосылкой для вывода критериев подобия является наличие аналитической зависимости между физическими величинами, характеризующими данное явление (например, уравнение движения).

Если уравнение дано в дифференциальной форме, то нахождение критериев подобия не связано с его интегрированием.

Возможность нахождения критериев подобия по дифференциальному уравнению приобретает особую ценность в тех случаях, когда эти уравнения не интегрируемы.

Вторая теорема подобия (теорема Федермана — Букингема) утверждает, что критерии подобия, полученные из дифференциальных уравнений, одновременно являются и критериями подобия, получаемыми из решения (интеграла) этих уравнений, т. е. интеграл дифференциального уравнения (или системы уравнений) может быть представлен как функция критериев подобия дифференциального уравнения. В результате интегрирования дифференциального уравнения не могут появиться какие-либо «новые» дополнительные критерии подобия или исчезнуть «старые», получаемые из дифференциального уравнения.

Первые две теоремы подобия касались свойств заведомо подобных систем. Третья теорема подобия формулирует условия, достаточные для суждения о том, подобны ли явления.

Для выделения из данного класса явлений конкретного единичного явления, как известно, необходимо знать условия однозначности. Однако аналитическое решение системы дифференциальных уравнений при заданных условиях однозначности, как указывалось, невыполнимо. Поэтому интересующую связь между переменными устанавливают опытным путем (например, зависимость коэффициента теплоотдачи от скорости течения воздуха в круглой трубе заданных размеров).

Явление, изученное опытным путем, должно рассматриваться как единичное явление, отвечающее конкретным условиям опыта (рабочее тело — воздух, круглая труба определенного диаметра и длины и т. п.). Это изученное опытным путем частное явление для удобства дальнейшего изложения будем называть «первым». Очевидно, существует неограниченное число явлений, подобных первому. Все явления, подобные первому, а тем самым подобные одно другому, образуют некоторую группу, входящую в данный класс явлений.

У всех явлений, относящихся к данной группе, условия однозначности подобны, т. е. между физическими и геометрическими одноименными величинами, входящими в условия однозначности, существует зависимость.

где и' — какая-либо величина, входящая в условия однозначности первого явления; г/," — одноименная величина, входящая в условие однозначности второго явления (i = 1, 2, 3,…, п, где п — число независимых величин, входящих в условие однозначности). Нетрудно прийти к выводу, что в пределах группы различие в условиях однозначности заключается лишь в неодинаковости масштабов значений констант подобия с_г

Требование подобия условий однозначности является непременной предпосылкой к подобию сопоставляемых явлений. Действительно, в условия однозначности включаются граничные условия. Если граничные условия не окажутся подобными, то на границах сопоставляемых систем процессы тоже не будут подобны, а следовательно, и явления, рассматриваемые во всем их объеме, не подобны.

Возникает вопрос, достаточно ли выполнить подобие условий однозначности у первого и второго явлений, чтобы утверждать подобие этих явлений в целом? Очевидно, нет. Согласно первой теореме подобия у подобных явлений одноименные критерии должны быть одинаковыми. Следовательно, только одного подобия условий однозначности недостаточно для суждения о подобии сравниваемых явлений, т. е. необходимо предъявить дополнительное требование: чтобы критерии подобия, составленные из условий однозначности, были равны. Третья теорема подобия доказывает необходимость и достаточность сформулированных выше требований для суждения о подобии явлений: подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и критерии подобия, составленные из условий однозначности, равны.

Критерии, составленные только из величин, входящих в условия однозначности, называются определяющими. Все остальные критерии называются неопределяющими (определяемыми). Если условия однозначности подобны и определяющие критерии равны, то равенство соответствующих неопределяющих критериев получается как следствие установившегося подобия.