Управляемость линейных объектов

Рассмотрим линейный объект, который описывается уравнением.

В случае линейного объекта справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.1. а) Линейный объект (1.12) вполне управляем, если, каково бы ни было начальное состояние х (?₀) = х°, существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [to, t/ и переводящее объект (1.12) в конечное состояние x (tf) = 0, т. е. в начало координат.

б) Линейный объект (1.12) вполне управляем, если, каково бы ни было конечное состояние х (?/) = х', существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [to, t/ и переводящее объект (1.12) из начального состояния х (*о) = 0, т. е. из начала координат, в конечное состояние x (tf) = хЛ Утверждение остается справедливым, если в первой части в качестве конечной точки вместо x (tf) = 0 выбрать любую другую фиксированную точку, а во второй части вместо начальной точки х (?о) = = 0 выбрать любую другую фиксированную точку.

Доказательство, а) Формула Коши (1.9) в случае уравнения (1.12) принимает вид.

Управление, переводящее объект (1.12) из начального состояния х (?о) = х° в конечное состояние х (?/) = х^, должно удовлетворять уравнению.

Поэтому достаточно показать, что последнее уравнение имеет решение при произвольных х° и хА Очевидно, решение этого уравнения совпадает с решением уравнения если или, Но по условию решение уравнения (1.136) существует при любом начальном условии, что доказывает первую часть утверждения 1.1.

б) При нулевом начальном условии из формулы Коши получаем.

Это уравнение по условию имеет решение при любом конечном состоянии. Решение уравнения (1.13а) совпадает с решением последнего уравнения, если

что доказывает вторую часть утверждения 1.1.