Формула Лапласа. 
Сопротивление материалов с использованием вычислительных комплексов

Рассмотрим равновесие элемента, вырезанного из оболочки двумя меридиональными и двумя коническими сечениями, перпендикулярными поверхности оболочки. На рис. 13.4 этот элемент изображен в трех проекциях.

Рис. 13.4. Нагрузки, действующие на вырезанный элемент оболочки.

На этом рисунке р — давление жидкости или газа в сосуде, p_w, da_w, o_m — соответственно радиус кривизны, угол охвата элемента и нормальное напряжение в меридиональном направлении; р, da, о, — то же в тангенциальном направлении.

Спроектируем все силы, действующие на элемент, на нормаль к поверхности элемента v:

Разделив это выражение на р,"р, 6, находим.

Выражение (13.1) носит название формулы Лапласа для тонкостенных оболочек. В формуле Лапласа два неизвестных напряжения. Чтобы их найти, необходимо второе уравнение. Составим уравнение равновесия части оболочки, отсеченной коническим сечением, перпендикулярным поверхности оболочки, на том уровне, где хотим определить напряжения (рис. 13.5).

Рис. 13.5. Схема нагружения отсеченной части оболочки.

Запишем сумму проекций на ось симметрии оболочки всех сил, приложенных к отсеченной части оболочки:

Отсюда где Р — проекция сил внутреннего или внешнего давления на ось симметрии оболочки; Q — вес отсеченной части оболочки.

Если сосуд находится под давлением газа, то Р = рпг² если в сосуд налита жидкость, то Р — вес столба жидкости, который давит на дно сосуда.