Нуль-динамика и синтез алгоритмов управления

Линеаризация обратной связью по выходу разбивает уравнения нелинейной системы на уравнения внешней и внутренней динамики. При этом внешняя динамика описывается дифференциальными уравнениями, содержащими управление v, линейно связанное с выходом у. Поэтому легко синтезировать управление v так, чтобы у изменялся нужным образом. Однако синтезированный таким образом закон управления представляет интерес, если внутренняя динамика будет устойчива и соответственно ее координаты ограничены.

Нуль-динамика.

Внутренняя динамика описывается последними п — г уравнениями в нормальной форме (6.216): =.

= w (z^^, z^²^). В общем случае эти уравнения зависят от внешнего состояния z^¹). Однако когда управление таково, что выход тождественно равено нулю (у = 0), внутренняя динамика не зависит от переменных внешнего состояния.

Определение 6.9. Нуль-динамикой нелинейной системы называют ее динамику при условии, что выход тождественно равен нулю.

(у = 0).

Так как при у = 0 все производные по времени выхода равны нулю, уравнение нуль-динамики в нормальной форме (6.21) имеет вид.

Управление, требующееся для поддержания условия z⁽¹) = 0, получается из соотношения и имеет вид.

Рассмотрение нуль-динамики связано с тем, что в общем случае нуль-динамика описывается более простыми уравнениями, чем внутренняя динамика, и в то же время исследование нуль-динамики позволяет судить об устойчивости внутренней динамики.

Как увидим дальше, для задачи слежения локальная (неглобальная) экспоненциальная устойчивость нуль-динамики гарантирует устойчивость внутренней динамики, если желаемая траектория и ее производная до (г — 1)-го порядка принимают малые значения. В случае стабилизации локальная асимптотическая устойчивость нульдинамики гарантирует асимптотическую устойчивость внутренней динамики.

Нуль-динамика является внутренним свойством нелинейной системы, а ее устойчивость не зависит от выбора закона управления v = у (х^у_ж) и желаемой траектории.

Исследование устойчивости нуль-динмики намного проще исследования устойчивости внутренней динамики, так как нуль-динамика включает только внутренние координаты, в то время как внутренняя динамика связана с внешней динамикой и желаемой траекторией.

Если относительная степень нелинейной системы равна ее порядку, то линеаризация обратной связью по выходу полностью линеаризует систему, и нелинейная задача синтеза сводится к линейной. Если же относительная степень меньше порядка системы, то линеаризация обратной связью по выходу только частично линеаризует систему, и пригодность синтезированного на основе линейной модели закона управления зависит от устойчивости внутренней динамики. Изучение внутренней динамики может быть упрощено, если его заменить изучением нуль-динамики.