Использование формулы Тейлора при исследовании сходимости интеграла

При оценке скорости убывания (роста) подынтегральной функции в окрестности особой точки (например, для последующего применения признаков сравнения) иногда бывает удобно воспользоваться ее разложением по формуле Тейлора.

Простейший случай — замена функции в окрестности особой точки ее главным членом, в том числе используя известные соотношения эквивалентности. Рассмотрим примеры.

Исследовать сходимость интегралов: г

Решение, а) Заметим, что при х —м-0 под знаком интеграла имеем неопре- 0 «.

деленность —. Раскроем ее, используя соотношения эквивалентности, полученные с помощью формулы Маклорена. Имеем lnfl + /х) ~ /х, e^sin* -1 ~ sinx ~ х,.

( 1 «I.

поэтому подынтегральная функция в окрестности нуля есть О —^т . Тогда, так.

х/з)

как у_г < 1, по третьему признаку сравнения интеграл сходится.

б) Интеграл несобственный 1-го рода (с особой точкой х = +°°). В окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. при х—м-°°, имеем arctgx — —,.

з.

(1 + х²)г ~ х³, поэтому подынтегральная функция имеет 3-й порядок малости по сравнению с бесконечно малой функцией —: ^arct8* =о| —— и поскольку х x³J

• (1 + Х²)2
• 3 > 1, то согласно третьему признаку сравнения для интегралов 1-го рода данный интеграл сходится.

±/' _"² _ь² 1.

Исследовать сходимость интеграла J е *² -е *² dx.

порядка малости по сравнению с бесконечно малой —. Так как 2 > 1, то по тре;

х тьему признаку сравнения интеграл сходится.

Пример 4.24.

+°Y % 1 fa

Исследовать сходимость интеграла J ——-—.

о V — в * 2) X*

Решение. Выясним, является ли точка х = 0 особой точкой. Разлагая функ;

Х%

циие^±х в ряд Маклорена: е^±х =1±х + — ± — + о (х^[1]), получим.

Так как при х —> -н" подынтегральная функция является бесконечно малой, то, применяя для нее разложение в ряд по формуле Маклорена, получаем.

т. е. функция /(х) является при х —> +~ бесконечно малой функцией второго Так как при х —> +0 значение подынтегральной функции стремится к—,.

то эта точка не является особой.

Осталось исследовать сходимость интеграла при х —> +. Так как выра;

х

жение—> 0 при х —"+°°, то подынтегральная функция является беско;

е^х-е~^х

нечно малой 2-го порядка по сравнению с бесконечно малой —. По третьему х.

признаку сравнения интеграл сходится в окрестности этой бесконечно удаленной точки.

Таким образом, при х —м-0 подынтегральная функция имеет порядок роста, равный р-3, по сравнению с бесконечно большой функцией —. По тре;

х

тьему признаку сравнения для интегралов 2-го рода получаем, что интеграл сходится при р — 3 < 1, т. е. р < 4, и расходится в остальных случаях.

Замечание 4.23. При р< 0 подынтегральная функция непрерывна на отрезке [ОД] и интеграл сходится (существует) как собственный; при р = 0 подынтегральная функция /(x) = e*sinx-.x:(l + x) непрерывна на (0,1], а в нуле может быть доопределена до непрерывной своим предельным значением, поэтому интеграл также является собственным и, значит, сходится.

б) Разложим подынтегральную функцию /в окрестности точки х = 0 (это единственная точка на промежутке интегрирования, которая может быть особой) по формуле Маклорена:

Таким образом, при х —> +0 подынтегральная функция имеет порядок роста, равный р — 2 (по сравнению с бесконечно большой в окрестности нуля функцией —). По третьему признаку сравнения для интегралов 2-го рода полух чаем, что интеграл сходится при р — 2 < 1, т. е. р < 3, и расходится в остальных случаях.

• [1] Исследовать сходимость интегралов в зависимости от значений параме-. }exsinx-x (l+x) ,)ах+а~х-2,.. трар: а) I—-Ldx; б) I-dx (а>0). о хР о хР Решение, а) На промежутке интегрирования имеется единственная особаяточка х = 0 (точнее, при р > 0 эта точка является особой). Выясним, при какихзначениях параметра р интеграл сходится. Для этого найдем разложение подынтегральной функции /в окрестности особой точки (по формуле Маклорена):