Понятие предельной точки

Пусть имеем бесконечную последовательность комплексных чисел.

Мы назовём число z предельным числом для данной последовательности (12), если оно удовлетворяет условию: при любом положительном сколь угодно малом е неравенство |z — z_n < е выполняется для бесконечного множества натуральных чисел п. Этому определению предельного комплексного числа можно придать геометрическую форму, если числа z_l9z₂y., z_ni…_yz рассматривать как точки числовой плоскости. Будем называть любой круг с центром в точке z

окрестностью этой точки. Заметив, что |z — z_n есть расстояние между точками z и z_n, мы скажем, что точка z есть предельная точка

для последовательности точек z_i9 г_ъ..z_n…если в сколь угодно

Фиг. 9.

малой окрестности точки z лежит бесконечное множество точек, принадлежащих данной последовательности (12). Другими словами, около предельной точки z образуется сгусток точек из последовательности^, z₂,.z_nt…

(фиг. 9).

Примечание. Числа последовательности (12), равные между собою, изображаются одной и той же точкой, называемой кратной точкой. Кратность точки равна числу равных чисел, изображением которых она является; в частности, кратность точки может оказаться бесконечной, если среди чисел данной последовательности имеется бесконечное множество равных между собой. Каждая точка считается за столько точек, какова её кратность. Так, например, последовательность точек 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7,… имеет единственную предельную точку 0.

Может случиться, что последовательность точек не имеет предельной точки, как, например, последовательность 1, 2, 3,…, л,… Бывают случаи, когда последовательность имеет несколько предельных точек, как, например, последовательность 1, ¹/₂, Vs. ²/s, V* ³Л. ¹!ь* которая имеет две предельные точки: 0 и 1, причём первая точка не принадлежит последовательности, вторая же есть элемент последовательности.