Распределение функций случайных величин

Функция случайной величины

Пусть ?, — случайная величина, закон распределения которой известен, а <�р (.г) — функция действительного аргумента х. Тогда (р (^) будет случайной величиной. Найдем закон распределения случайной величины ср (^).

1. Рассмотрим сначала случай, когда — дискретная случайная величина с рядом распределения 2.2. В этом случае Л ⁼ ф (^) тоже будет дискретной случайной величиной. Обозначим через у у, У2у ., у_п, … возможные различные значения случайной величины г|, и пусть {}: ф(xj) = уЦ обозначает множество номеров всех тех х-_р для которых <�р (х/) = y_v Событие {г| = г/_;} равносильно объединению попарно несовместных событий = Xj}J е {j: ф (лу) = г/,}, т. е.

поэтому.

Щ/

Таким образом, случайная величина р = ф (^) имеет следующий ряд распределения (табл. 2.5).

Таблица 25

Ряд распределения

Пример 2.24. Случайная величина ^ распределена следующим образом (см. табл. 2.6).

Таблица 2.6

Ряд распределения

Найти ряд распределения случайной величины г = %². Решение. Легко видеть, что возможными значениями случайной величины г| = будут у у ⁼ 0, г/₂ ⁼ Т Уз ⁼ 4.

По формуле (2.48) найдем вероятности, с которыми случайная величина р принимает эти значения. Так как {j: xf = 0} = {3}, т. е. {г| = 0} тогда и только тогда, когда = 0}, то.

Аналогично {jxf = 1} = {2} и с/₂ = Р{г = 1} = Р{% = -1} = 0,3. Множество (j: xf = 4} состоит из двух элементов {1,4}, поэтому.

Таким образом, случайная величина г имеет следующий ряд распределения (табл. 2.7).

Ряд распределения.

Таблица 2.7

• 2. Рассмотрим теперь случай непрерывной случайной величины ^ с плотностью распределения f (x). Найдем плотность распределения случайной величины г = ф (^), где ф (.г) на множестве возможных значений случайной величины ?, является непрерывной и дифференцируемой функцией.
• а) Предположим, что ф (х) — монотонно возрастающая функция, тогда она имеет обратную функцию ф^-1. Из равносильности событий {г| < у} = {ф (^) < у) = {? < ф^_1(г/)} следует

где F^wF^ — функции распределения случайных величин ц и ?, соответственно.

Для того чтобы найти плотность распределения случайной величины г|, продифференцируем обе части равенства (2.49). По правилу дифференцирования сложной функции получим.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

б) Если ф (х) — монотонно убывающая функция, то из равносильности событий {ц < у} = {ф (?>) < у) = > ф~^х(у)} следует Поэтому.

Заметим, что в рассматриваемом случае [ф^Л(у)]' будет отрицательной функцией, поэтому правая часть равенства (2.51) будет положительной.

Из а) и б) следует, что если ф (х) — монотонная функция, то плотность распределения случайной величины г = ф (^) равна в) Рассмотрим теперь случай, когда функция у = ф (х) не является монотонной. Разобьем область возможных значений случайной величины? на интервалы, на каждом из которых (р (х) является монотонной функцией. Пусть к — число таких интервалов, а ф, ^!(г/) — функция обратная к ф (х) на i-м интервале. Событие {г < у} = (ф (%) < у} равносильно объединению следующих несовместимых событий {?, < Ф i = 1, 2, 3,…, к. Поэтому.

Здесь Д, = (а_м, а,-), Л, = В, = {^ < cp,¹(.V)} ^п 6 А,} - несовместные события; (В: i е /₂; Л: i е I_{), I_x U /₂ = {1, 2,…, к).

Продифференцировав обе части равенства (2.53) по г/, найдем плотность распределения случайной величины р = ф (^). Имеем.

Пример 2.25. Задана случайная величина ?, с плотностью распределения вероятностей.

Найти плотность распределения вероятностей случайной величины Г| = %².

Решение. Так как функция у = х² на области возможных значений случайной величины т. е. на интервале [-2,2], не является монотонной, то плотность распределения вероятностей случайной величины Г) находим по формуле (2.54). Легко видеть, что на каждом из интервалов [-2, 01 и [0, 21 функция у = х² монотонна, причем.

и то.