Перемещение от единичной силы (коэффициент податливости)

Рассмотрим прогиб консольной балки под действием приложенной на конце силы F (pHC. 11.5, а):

Рис. 11.5. К определению перемещений балки.

Пусть на эту балку действуют две силы (рис. 11.5, б). Найдем прогибы балки в точках приложения каждой силы. Согласно принципу независимости действия сил, прогиб балки от двух сил равен сумме прогибов балки от каждой силы в отдельности (рис. 11.5, в, г):

Для системы сил п

где 6, — коэффициент податливости (перемещение по направлению /отсилы Fj= 1). п

В общем виде формула (11.3) принимает вид А_;. = ^ /^5. j .

j=i

Выражение (11.3) представляет собой закон Гука для внешних сил. В матричном виде этот закон записан в п. 21.3.

Канонические уравнения метода сил

Сущность метода сил состоит в том, что заданную статически неопределимую систему можно заменить статически определимой, ей эквивалентной, путем отбрасывания лишних связей и замены их неизвестными силами. Величину этих сил определяем из условий эквивалентности.

Две системы считаются эквивалентными, если напряжения, деформации и перемещения в них одинаковы. Если системы упругие, для их эквивалентности достаточно, чтобы перемещения в них были одинаковы.

Реализацию описанной идеи рассмотрим на примере два раза статически неопределимой системы (рис. 11.6, а). Отбросим две связи (любые), система станет статически определимой. Назовем ее оенов-

Рис. 11.6. Расчетные схемы, используемые в методе сил.

ной системой. Из одной заданной системы можно получить несколько основных (статически определимых) систем путем отбрасывания разных связей. Выбранная основная система (рис. 11.6, б) обеспечивает более простое решение.

Нагрузим основную систему всеми внешними силами, действие отброшенных связей заменим неизвестными силами Х_} и Х₂, получим эквивалентную систему (рис. 11.6, в).

На опоре А линейные перемещения равны нулю. Используем равенство нулю этих перемещений в качестве условий эквивалентности. Д^верт ^— Д/1 гор ^— О*.

Согласно принципу независимости действия сил и закона Гука (11.3).

датливости, учитывающие только изгиб элементов рамы; к— номер участка; M_Fk — изгибающий момент от внешних сил на участке к; А/, _к и М~, _к — изгибающие моменты от единичных сил Х_х = 1 иХ₂ = 1 на участке к.

Для определения указанных изгибающих моментов нарисованы еще три системы: грузовая (рис. 11.6, г) и две единичные от силы Х_{ = 1 (рис. 11.6, д) и от силы Х₂ = 1 (рис. 11.6, е).

Решая систему уравнений (11.4), определяем неизвестные силы Х_] и Х₂. Статическая неопределимость раскрыта. Далее для статически определимой эквивалентной системы можно определить напряжения и перемещения, как было описано ранее. Для п раз статически неопределимой системы надо записать п условий эквивалентности:

Это система канонических уравнении метода сил. Она не изменяется для любой залами. В общем виде систему уравнений (11.5) можно записать как перемещение по направлению /:

где п — степень статической неопределимости (число неизвестных сил X:).

В выражениях (11.5) и (11.6) все коэффициенты представляют собой перемещения, которые определяются с помощью интеграла Мора. В общем случае в интеграл Мора можно включать слагаемые, учитывающие продольные усилия, изгибающие моменты и крутящие моменты. Тогда перемещение от внешних сил по направлению /.

В этих выражениях т — число участков, к — номер участка.

На практике, как правило, пренебрегают влиянием продольных усилий, если есть изгибающие или крутящие моменты. Численные расчеты в приведенных в электронной книге примерах показали, что слагаемые перемещений от продольных усилий примерно в тысячу раз меньше слагаемых от моментов (изгибающих или крутящих).

Определив все необходимые коэффициенты, решают систему уравнений (11.5) и находят все неизвестные силы Х_г После нахождения неизвестных сил становится возможным работать с эквивалентной системой, для которой теперь можно найти все внутренние усилия (моменты изгибающие и крутящие).

На основании принципа независимости действия сил момент (изгибающий или крутящий) для эквивалентной системы равен сумме моментов от каждой силы в отдельности или.

Для эквивалентной статически определимой системы можно найти напряжения и перемещения, которые являются такими же, как в заданной системе.

Зная моменты в эквивалентной системе относительно осей х, у, z, надо выбрать опасное сечение, где действуют максимальные эквивалентные напряжения по третьей или четвертой гипотезам прочности, как показано в предыдущей главе при сложном сопротивлении. Следует заметить, что иногда бывает необходимо рассмотреть два и более опасных сечения.

Если требуется найти перемещение какой-либо точки заданной системы, то это перемещение определяют для эквивалентной системы с помощью интеграла Мора. При этом в качестве моментов от внешних сил используют выражения для моментов в эквивалентной системе, найденные ранее.