Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность произведения событий, А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 1. Нели событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Таким образом, зависимость или независимость событий всегда взаимны. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероят ности появления другого.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

На практике теоремы сложения и умножения вероятностей применяются совместно. Событие, вероятность которого определяется, обычно представляется в виде суммы нескольких несовместных событий (вариантов данного события), каждое из которых, в свою очередь, является их произведением.

Формулы полной вероятности и Кейеса

Формула полной вероятности является следствием теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задача. Найти вероятность события А, которое может произойти с одним из событий Н, Н2, …, Hj, …, Н", образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами.

Решение. Событие Л может появиться только в комбинации с гипотезой:

По теореме сложения вероятностей получим.

В свою очередь, по теореме умножения вероятностей.

Формулу (7.10) называют формулой полной вероятности.

Теорема гипотез (формула Бейеса) определяет вероятности гипотез при том, что имело место событие Л. По теореме умножения вероятностей

Если в (7.11) Р (А) представить формулой (7.10), то получим формулу Бейеса.

Из (7.12) можно заключить, что формула Бейеса является следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной вероятности.