Учет сезонности в трендовых моделях прогнозирования

Алгоритм прогнозирования с учетом сезонной составляющей по трендовым моделям (формулы (8.1) и (8.2)) состоит из пяти этапов.

Первый этап заключается в определении структуры и периодичности сезонных изменений. Например, через каждые 4 квартала «поведение» показателя повторяется; если данные собраны по месяцам, то структура сезонных колебаний будет повторяться каждые 12 месяцев. Если значение показателя существенно изменяется по дням недели, то можно говорить о «сезонных» колебаниях периодичностью 7 дней.

Второй этап — это оценка и исключение тренда. Для оценки тренда может использоваться два варианта: построение линии тренда или применение метода скользящих средних. Второй вариант наиболее часто описывается в литературе по прогнозированию при рассмотрении сезонной компоненты. Поскольку построение трендовых моделей мы рассматривали выше, уделим внимание второму варианту оценки тренда. Метод скользящих средних предусматривает вычисление последовательности скользящих средних по т узлам, где т — продолжительность сезонных колебаний.

Если т — нечетное, то первое значение скользящего среднего (среднее от первого до т-го значения ряда) присваивается ^Ш * * -й точке (например, если т = 7, первое скользящее среднее присваивается четвертой точке). Аналогично следующее значение скользящего среднего (среднее от вто;

т + 3 «_ч

рого до (т + 1)-го значения назначается —-—и точке и т. д.).

Если т — четное, то задача несколько усложняется, так как средние точки будут расположены между точками, по которым выполнялся расчет. Например, если т = 4, то первое скользящее среднее окажется между второй и третьей точками, второе скользящее среднее — между третьей и четвертой и т. д. В этом случае требуется процедура центрирования полученных значений. Центрированное значение находится как среднее от двух скользящих средних, находящихся между точками. Например, центрированное значение для третьей точки — это среднее от скользящих средних, расположенных между второй и третьей, третьей и четвертой точками.

Необходимо отметить, что полученные значения скользящих средних уже нс содержат сезонной компоненты, поскольку представляют среднюю величину за определенный период.

Третий этап — определение сезонной компоненты. Дальнейшие расчеты будут зависеть от выбора вида модели прогноза. Для аддитивной модели (8.1) рассчитывается оценка сезонной компоненты как разность между фактическим значением и значением, определенным по трендовой модели (первый вариант оценки тренда), или фактическим значением и скользящей средней (при нечетном ш), или фактическим значением и центрированной средней (при четном т), если использовался второй вариант оценки тренда.

Для мультипликативной модели (8.2) при первом варианте оценки тренда находится отношение фактических значений показателя к расчетным, определенным по трендовой модели. Во втором варианте оценки тренда находится отношение фактических значений показателя к скользящей средней (при нечетном т) или к центрированной средней (при четном т). Такое отношение называется индексом (коэффициентом) сезонности.

Для того чтобы дальше использовать значения сезонной компоненты и коэффициентов сезонности, необходимо найти средние значения оценок (коэффициентов) для каждого сезона. Далее полученные средние значения следует скорректировать таким образом, чтобы сумма оценок сезонной компоненты для аддитивной модели равнялась нулю (это позволит усреднить значения сезонной компоненты за весь период колебаний), а сумма коэффициентов (индексов) сезонности — числу сезонов.

Если в аддитивной модели из фактического значения вычесть сезонную компоненту, а в мультипликативной модели фактическое значение разделить на индекс сезонности, то получим данные, в которых нет сезонности.

Четвертый этап — прогнозирование на основе данных, из которых исключена сезонная составляющая. Этот этап выполняется в том случае, если на втором мы выбрали для оценки тренда метод скользящих средних. Для прогнозирования выбирается трендовая модель с помощью метода наименьших квадратов или экспоненциальное сглаживание.

После исключения из исходных данных сезонности и тренда остается случайная составляющая, отражающая присутствие неподдающихся учету и прогнозу факторов.

Пятый этап — вычисление ошибки модели прогноза. Из фактического значения вычитается сезонная компонента и тренд (аддитивная модель), для полученных остатков определяется среднее квадратическое отклонение. В мультипликативной модели из фактического значения вычитается произведение индекса сезонности и тренда. По полученным остаткам также рассчитывается ошибка прогноза. Следует напомнить, что чем больше период упреждения прогноза, тем его точность будет меньше.

? Разбор ситуации Рассмотрим ситуацию, в которой учет неравномерности заказов потребителей осуществляется с помощью трендовой модели, имеющей сезонность. Данные о количестве заказываемых товаров сгруппированы по дням в течение последовательных 4 недель и представлены в табл. 8.9.

Таблица 8.9

Данные о количестве отпущенного товара, ед.

На основе исходных данных построен график фактического расхода (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Данные о количестве отпущенного товара по дням недели.

Опустив процедуру подбора линии тренда, произведем оценку тенденции на основе модели y_t = 268 + 1 At. Результаты вычислений представлены в табл. 8.10. Ошибка модели прогнозирования, представленной в табл. 8.10, достаточно большая, поэтому такие результаты не могут быть признаны удовлетворительными.

По рис. 8.7 видно, что временной ряд содержит колебания с периодичностью 7, описав которые, можно уменьшить неопределенность спроса, рассчитанную с помощью трендовой модели.

Результаты прогнозирования количества реализованного товара без учета сезонности, ед.

Рассчитаем трендовую, сезонную и случайную компоненты аддитивной и мультипликативной моделей для имеющихся данных (см. (8.1) и (8.2)). В соответствии с алгоритмом прогнозирования по трендовым моделям с учетом сезонности сначала выделим тренд, затем найдем: 1) оценки сезонной компоненты как разность между фактическими и трендовыми значениями исходного ряда; 2) оценки индекса сезонности как частное от деления фактических значений ряда на трендовые (табл. 8.11).

Таблица 8.11

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной и мультипликативной моделях

Используем полученные оценки для расчета значений сезонной компоненты s₍ и индекса сезонности I_s. Для этого найдем средние за каждый день недели оценки сезонной компоненты (табл. 8.12) и индекса сезонности (табл. 8.13).

Таблица 8.12

Расчет значений сезонной компоненты аддитивной модели.

Расчет значений индекса сезонности мультипликативной модели

При этом необходимо учесть, что в аддитивной модели сумма значений сезонной составляющей по всем дням недели должна быть равна нулю, а в мультипликативной сумма индекса должна быть равна периоду сезонных колебаний, т. е. 7. Оба условия выполняются:

и.

поэтому полученные оценки могут использоваться для описания сезонности в моделях прогнозирования.

Прогноз количества товара, отпущенного со склада, на основе аддитивной и мультипликативной моделей с учетом сезонности приведен в табл. 8.14. Там же указаны ошибки моделей прогноза.

Таблица 8.14

Прогноз спроса на товар на основе трендовых моделей с учетом

сезонности.

Анализ ошибок прогнозирования в рассматриваемой ситуации позволяет заключить, что и аддитивная, и мультипликативная модели существенно уменьшили ошибку прогнозирования в сравнении с моделью, в которой выделен только тренд. Однако необходимо помнить, что наличие приблизительно равной амплитуды колебаний является условием применения аддитивных моделей учета сезонности^[1]. <

Для ситуации, когда требуется оценить неравномерность спроса по дням недели, может быть достаточным прогнозирование на основе мультипликативной модели с учетом тренда и сезонности. Однако в случаях оценки сезонных колебаний по кварталам или месяцам года трендовые модели могут давать ошибочный прогноз, поскольку предполагают равноценность исходной информации. В реальной практике будущее процесса в большей степени зависит от поздних, стоящих ближе к настоящему моменту времени наблюдений, ценность которых выше, чем ранней информации. С появлением новой информации возникает необходимость уточнить и по-новому интерпретировать изменившийся фон для прогнозных исследований. Для учета значимости информации разных периодов динамического ряда, тенденции и сезонности может быть использовано экспоненциальное сглаживание с тремя параметрами (модель Винтерса).

• [1] Эконометрика: учебник / под общ. ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004.