Особые точки нелинейных систем

Проведенная выше классификация особых точек линейных систем является исчерпывающей она охватывает все возможные варианты. Эта классификация связывается обычно с именем А. Пуанкаре^[1] выдающегося математика конца XIX века, который осуществил ее в своей работе [52|. Там же он привел и результат, который стал основой теории особых точек нелинейных систем.

Теорема 24.1 Пусть (х*, у*) особая точка системы. (24−1) и

пусть, А матрица, первого приближения, вычисленная в этой точке:

Если собственные значения матрицы. А одного знака, и различны, то особая, точка, нелинейной системы имеет, тип «узел» и фазовый портрет системы вблизи этой точки имеет такой же вшР, как и у линейной системы (рис. 24-2).

Если собственные значения матрицы, А разных знаков, то особая точка нелинейной системы имеет тип «седло» и фазовый портрет системы, вблизи этой точки имеет такой же вид, как и у линейной системы, (рис. 24−5).

Если собственные значения матрицы, А комплексные с ненулевой вещественной частью, то особая, точка нелинейной системы, имеет тип «фокус» и фазовый портрет системы вблизи этой точки имеет такой же вид, как и у линейной системы (рис. 24-10).

Если собственные значения матрицы, А ненулевые чисто мнимые, то особая точка нелинейной системы, имеет один из трех типов «фокус», «центр» г!, «центрофокус» (бесконечная систем, а, стягивающаяся к особой точке, замкнутых кривых, перемежающихся незамкнутыми кривыми, заполняющими соответствующее кольцо между замкнутыми, которые при t —> +эо стремятся к одной замкнутой кривой, наматываясь на нее бесконечное число раз, а при t —> —ос к другой таким же образом); фазовый портрет системы вблизи точек типа «фокус» и «центр» имеет такой nice вид, как и у линейной, системы, (рис. 24−9, 24-Ю), фазовый, же портрет, цептпрофюкуса изображен на рис. 24−13.

Рис. 24.13: Центрофокус.

Из теоремы Пуанкаре⁷ следует, что если особые точки нелинейной системы имеют один из перечисленных типов, то вблизи особой точки фазовый портрет можно построить, просто «наложив» на окрестность этой точки фрагмент фазового портрета линейной системы. Упражнения показывают, что после этого общая картина вырисовывается в качественном плане почти однозначно (правда, для полной точности требуется еще аккуратно исследовать поведение сепаратрис).

Если вернуться еще раз к рис. 23.1 из главы 23. описывающему фазовый портрет математического маятника, то нетрудно заметить, что точки (27Ш, 0) имеют тип «центр¹¹, а точки (п + 27гп, 0) имеют тип «сед;

JIO .

Отметим особо, что именно Пуанкаре поставил проблему, которая на самом деле до сих пор не решена, если собственные значения чисто мнимые, то при каких условиях на правые части нелинейной системы особая точка оказывается центром, а при каких фокусом? (Проблема центра и фокуса.) Путь для исследования этой проблемы был намечен А. М. Ляпуновым, решена она только для квадратичных правых частей.

Задания для самостоятельной работы.

1. Исследуйте тип особых точек и нарисуйте фазовый портрет для линейных систем:

' Помимо оригинального доказательства Пуанкаре в [52] рекомендуем посмотреть также теорему о седле, приведенную в учебнике Л. С. Понтрягина |4|.

2. Найдите особые точки нелинейных систем, определите их тип, нарисуйте фрагменты фазового портрета вблизи этих точек и ио этим фрагментам дорисуйте весь фазовый портрет^[2]:

Каверзные вопросы.

1. Как осуществить классификацию особых точек трехмерной системы

в трехмерном фазовом пространстве?

• 2. Как доказать теорему Пуанкаре о классификации особых точек нелинейных систем?
• 3. Как же все-таки решить проблему центра и фокуса хотя бы для полиномиальных правых частей?

• [1] ''Анри Пуанкаре Henri Poincare (1854 1912) великий французский математик, физик, астроном и философ, член Парижской АН и более чем 35 иностранных академий. Нет области математики и ее применений, где бы Пуанкаре не оставил бы новыхметодов исследований. Ею работы, опубликованные Парижской АН, составляют 10томов. Не будет преувеличением сказать, что XX век в математике был посвященразвитию и распространению идей, многие из которых принадлежат именно Пуанкаре. «Слова «такой же вид» на самом деле означают «диффеоморфен» т. е. получается взаимно-однозначным, взаимно-непрерывным, дифференцируемым отображениемплоскости. Мы не употребляем этот термин только потому, что он не является общеупотребительным для младшекурсников. Более точные формулировки и разборможно найти в |3|.
• [2] Тем, дли кого эго задание окажется слишком сложным, рекомендуем посмотретьразбор этих задач в |61|.