Теорема Флоке. 
Дифференциальные уравнения

Как мы видели выше, рассмотрение системы с постоянными коэффициентами как частного случая системы периодической дало весьма любопытные результаты. Однако оказывается, что, но большому счету, системы с постоянными коэффициентами совсем не частный случай для периодических систем, а самый что ни на есть общий. Это удивительный результат принадлежит Флоке^[1] и носит его имя.

Теорема 28.3 (Теорема Флоке) Любая система с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе с постоянными коэффициентами. Более точно для любой и>-периодической матрицы A (t) существует такая и)-периодическая, матрица P (t) и постоянная, вообще говоря, комплексная матрица В, что U (t) = P (t)e^Bt. Возможно также найти постоянную вещественную матрицу С и 2ш-периодическую вещественную матричную функцию Q (t), что U (t) = Q (?)e^Ct.

Утверждение теоремы по существу означает, что замена х — P{t)y (или х = Q (t)y) превращает систему (28.1) в систему ij = By (или соответственно у = Су).

Доказательство базируется на следующих двух теоремах из алгебры матриц.

Теорема 28.4 (Теорема о существовании комплексного логарифма) Пусть G произвольная невырожденная комплексная матрица. Тогда существует логарифм этой матрицы, т. е. такая комплексная матрица L, что e^L — G.

Теорема 28.5 (Теорема о существовании вещественного логарифма) Пусть матрица G вещественна, невырождена и все ее отрицательные собственные значения, имеют двойную кратность (с учетом цепочек собственных и присоединенных векторов все в «двойном» количестве). Тогда существует вещественный логарифм матрицы G, т. е. такая вещественная матрица L, что e^L = G.

Доказательство первой из этих теорем мы приведем чуть позже, вторую же мы даем без доказательства, чтобы не углубляться в сугубо алгебраические вопросы (тем, кто интересуется деталями, рекомендуем посмотреть |30|). Отметим только, что невырожденность матрицы является необходимым условием существования логарифма, ибо dete^L — ^L -ф 0 для любой матрицы L. Необходимость дополнительного условия на отрицательный спектр матрицы G для существования вещественного логарифма следует, например, из теоремы об отображении спектров. Если // = —а² является собственным значением матрицы е, то матрица А имеет собственное значение вида, А = In |а| + п (2к + l) i. Поскольку матрица А вещественна, все ее комплексные собственные значения ходят «парами», и каждому из них соответствует комплексно сопряженное, с точностью до цепочек собственных и присоединенных векторов. Но при взятии экспоненты оба комплексно сопряженных числа 1п|а| ± 7 г (2к + 1 )г попадут на одно и то жег значение /г = —а². Значит, это значение ц будет иметь наверняка четную кратность и «парные» цепочки собственных и присоединенных векторов.

Итак, мы приступаем к доказательству теоремы Флоке. В комплексном случае рассмотрим матрицу U (u>), найдем ее комплексный логарифм. пользуясь теоремой 28.4 (матрица невырождена, так как является значением фундаментальной матрицы), и разделим его на со. Полученную матрицу обозначим через В. т. е. е^Вш = U (uj). Положим теперь.

Тогда U (t) = P{t)e^Bt. и единственное, что нам остается показать, периодичность матрицы P (t). Но.

так как произведение в квадратных скобках равно единице благодаря выбору матрицы В.

Аналогичные рассуждения происходят и в вещественном случае, только логарифм ищется не от матрицы [/(се), а от матрицы U‘²(uj). Поскольку собственные значения квадрата от матрицы U(се) равны квадратам от собственных значений матрицы U (се) (это все та же теорема об отображении спектров), отрицательная часть спектра матрицы С/²(се) это возведенная в квадрат часть спектра матрицы ?/(се), лежащая на мнимой оси. А поскольку для вещественной матрицы спектр симметричен (с точностью до цепочек собственных и присоединенных векторов) относительно комплексного сопряжения и поскольку комплексно сопряженные мнимые собственные значения при возведении в квадрат отображаются на одно и то же отрицательное число, отрицательная часть спектра матрицы f/²(ce) будет двойной и тем самым матрица U (u>) будет полностью удовлетворять условиям теоремы 28.5. Далее рассуждения дословно повторяют комплексный случай: вещественный логарифм, деленный на 2и, объявляется матрицей С. полагается Q (t) = U (t)e~^ct и доказывается 2<�д-периодичность Q{t).

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о комплексном логарифме проводится, как и для многих матричных теорем, используя жорданову форму матрицы и разложения функции в ряды. Для логарифма этот ряд выглядит как.

Первое соображение состоит в том, что если ряд.

сходится, то его сумма является логарифмом матрицы I + Н. Действительно, подстановка этого ряда в ряд для экспоненты приведет к точно таким же преобразованиям коэффициентов, что и подстановка в ряд для обычной экспоненты ряда для обычного логарифма. А поскольку в последнем случае у нас получится тождество, тождество обязано получиться и для случая матричного.

Второе соображение состоит в том. что для жордановой клеточки ряд не просто сходится он обрывается: если.

жорданова клеточка размера т хт, то логарифм этой матрицы равен.

Логарифм блочной матрицы строится как блочная матрица, состоящая из соответствующих логарифмов, а логарифм от произвольной невырожденной матрицы как логарифм от ее жордановой формы, обрамленной теми же операторами Т и Т^-1 перехода от матрицы к ее жордановой форме. Теорема доказана.

Последнее замечание к этой теореме: при вычислении логарифма от жордановой клеточки мы использовали логарифм от Aл. Собственные значения невырожденной матрицы могут быть как положительными, так и отрицательными, как вещественными, так и комплексными.

и поэтому необходимо четко понимать, что логарифм здесь берется не н вещественном, а в комплексном смысле. А в иоле комплексных чисел логарифм определяется не однозначно, а с точностью до добавки 2nki. где к € 7L. В поле комплексных чисел логарифм является многозначной функцией, и поэтому для определенности выделяют так называемое главное значение логарифма то, у которого мнимая часть лежит в промежутке (—тг, 7г]. Все эти проблемы автоматически «переезжают» и в матричный логарифм, так что на самом деле логарифмов у каждой матрицы много, но поскольку мы задаемся только вопросом о существовании логарифма мы можем выбирать и строить тот логарифм, который нам представляется более удобным.

Задания для самостоятельной работы.

1. Докажите, что если a{t)^{-периодична,} то.

не зависит от t.

2. Докажите формулы (28.9).

Каверзные вопросы.

• 1. Как выглядит теорема об отображении спектров для произвольной аналитической⁵ функции от матрицы? А для функции f (x) = 1 /хР.
• 2. Пусть /г¹ собственный, a h², h³,…, h^k цепочка из присоединенных к нему векторов, отвечающих собственному значению Л матрицы А. Как выразить через них цепочку из собственного и присоединенных векторов матрицы е" *?

«Напомним, что аналитическими называют функции, представимые в виде ряда /(х) = ао + а1Ж + й2Ж²-|— • ? + а"х^п—. ., сходящегося хотя бы в некоторой окрестности нуля.

• [1] Ашиль Мария Гамом Флоке A.V.G. Floquet. (1847−1920) французский мате матик.