Импликация х —>у (читается «если х, то у»)

Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе — следствием из него, называется импликацией.

Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно (табл. 4.9).

Таблица 4.9

Таблица истинности импликации.

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно.

Пример 4.5. Рассмотрим два высказывания: «данный четырехугольник — квадрат» (Л) и «около данного четырехугольника можно описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание.

Л —> В, понимаемое, как если данный четырехугольник — квадрат, то около него можно описать окружность. Есть три варианта, когда высказывание Л —> В истинно:

• 1) Л истинно и В истинно, т. е. данный четырехугольник — квадрат, и около него можно описать окружность;
• 2) Л ложно и В истинно, т. е. данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника);
• 3) Л ложно и В ложно, т. е. данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность;
• 4) ложен только один вариант, когда Л истинно, а В ложно, т. е. данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

Пример 4.6. Утверждение «если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3» истинно, т. е. из высказывания «каждое слагаемое делится на 3» следует высказывание «сумма делится на 3». Посмотрим, какие наборы значений истинности условия и заключения возможны, когда истинно все утверждение. Возьмем, например, в качестве слагаемых числа 6 и 9. В этом случае истинны и условие, и заключение, и все утверждение. Если же взять числа 4 и 5, то условие будет ложным, а заключение — истинным. Для чисел 4 и 7 и условие, и заключение ложны. (Если вы сомневаетесь в истинности высказывания для последнего случая, попробуйте произнести его в сослагательном наклонении: если бы числа 4 и 7 делились на 3, то и их сумма делилась бы на 3.) Очевидно, что только один случай невозможен: мы не найдем таких двух слагаемых, чтобы каждое из них делилось на 3, а их сумма не делилась на 3, т. е. чтобы условие было истинным, а заключение — ложным. Из истины не может следовать ложь, иначе логика теряет смысл.