Изучение функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физико-математический факультет Кафедра дидактики физики и математики Выпускная квалификационная работа Изучение функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе Выполнила студентка V курса физико-математического факультета Петухова Елена Александровна

/подпись/

Научный руководитель к.п.н., доцент Крутихина М. В.

/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зам. зав. кафедрой 40

Крутихина М. В.

" «40

Декан факультета 40

Кантор Е. В.

" «40

Киров 2008

Содержание Введение Глава I. Элективные курсы в профильном обучении

1.1. Типы курсов профильного обучения

1.2. Виды элективных курсов

1.3. Цели, задачи и функции элективных курсов

1.4. Подходы к созданию элективных курсов

1.5. Требования к оформлению программы элективного курса

1.6. Содержание и инвариантные условия организации элективных курсов

1.7. Формы и методы обучения

1.8. Учебно-методический комплекс Глава II. Методика изучения функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе

2.1. Элективный курс «Функции и графики»

2.2. Опытное преподавание

Заключение

Библиографический список

В соответствии с концепцией модернизации российского образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается введение профильного обучения; создание системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования.

Процесс реализации профильного обучения определяется следующими основными целями:

· обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

· создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

· способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

· расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования;

· создать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.

Осуществление осознанного выбора профиля обучения учащимися должно обеспечиваться специально организованной предпрофильной подготовкой в девятых классах основной школы. Целью предпрофильной подготовки является создание образовательного пространства, способствующего самоопределению учащихся девятых классов, обоснованному выбору ими дальнейшего пути обучения.

Существенным моментом в организации предпрофильного и профильного обучения является разработка и реализация элективных курсов. Элективные курсы (курсы по выбору, обязательные для посещения учащимися) являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Поскольку создание элективных курсов — важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения, то в связи с этим возникает проблема разработки элективных курсов, удовлетворяющих определенным требованиям.

С учетом вышеизложенного для исследования была выбрана тема «Изучение функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе». Понятие функциональной зависимости является одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения. Материал, связанный с этим вопросом на базе основной школы, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу, поэтому могут быть изучены на элективном курсе «Функции и графики».

Цель исследования состоит в изучении требований по созданию элективных курсов, разработке элективного курса «Функции и графики» для девятого класса и методических рекомендаций по его проведению.

Объектом исследования является процесс предпрофильного обучения математике в рамках элективного курса.

Предметом исследования является изучение функциональной линии на элективном курсе по алгебре в 9 классе.

Гипотеза исследования: изучение функциональной линии в основной школе будет более эффективным в том случае, если:

· в 9-ых классах будет реализована предпрофильная подготовка, в частности, будет проведен элективный курс «Функции и графики»;

· элективный курс «Функции и графики» будет разработан и проведен методически грамотно, а именно:

ь использован индуктивный путь введения понятия «функция»;

ь рассмотрены все способы задания функции, при этом существенное внимание уделено формированию представления об однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции;

ь рассмотрены задания перевода функции из одной формы представления в другую;

ь использовано неявное введение арифметических операций, связанных с одноименными арифметическими операциями, над функциями (осознанный перенос действий из одной области в другую за счет рассмотрения заданий определенного типа);

ь использован аналитико-графический путь изучения функций: от определения и свойств к их графическим иллюстрациям ();

ь использована функциональная символика.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования были сформулированы следующие задачи исследования:

· изучить нормативную, педагогическую и методическую литературу с целью выделения требований к разработке элективных курсов;

· разработать элективный курс «Функции и графики» по алгебре для9-гокласса;

· разработать методические рекомендации по проведению данного элективного курса;

· осуществить опытное преподавание.

Для достижения поставленных целей и задач использовались следующие методы исследования:

· изучение предыдущего опыта разработки факультативных и элективных курсов;

· изучение математической, методической и психолого-педагогической литературы;

· опытное преподавание;

· наблюдение за учащимися во время проведения занятий элективного курса при осуществлении опытного преподавания.

Глава I. Элективные курсы в профильном обучении

Элективные курсы (курсы по выбору) - новый элемент учебного плана, дополняющий содержание профиля, позволяющий удовлетворять разнообразные познавательные интересы школьников. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы — обязательны для старшеклассников. Элективные курсы могут касаться любой тематики, как лежащей в пределах общеобразовательной программы, так и вне ее.

Элективные курсы — это новейший механизм актуализации и индивидуализации процесса обучения. С хорошо разработанной системой элективных курсов каждый ученик может получить образование с определенным желаемым уклоном в ту или иную область знаний.

Элективные курсы проводятся для сравнительно небольшого числа учащихся, при этом уровень учебных достижений учеников весьма различен, поэтому важной особенностью элективных курсов является их ориентация на различные группы учащихся. Учащихся будущей профильной школы с точки зрения математики можно классифицировать следующим образом:

· первую, весьма немногочисленную группу учеников составляют математические вундеркинды, победители олимпиад высокого уровня. Такие учащиеся овладевают школьной программой «играючи». Для них вообще нет проблемы «преодоления» выпускного экзамена или ЕГЭ, им интересно изучать то, «что в школе никто не изучает»;

· вторую группу составляют ученики, которые в течение всех прежних лет постоянно и с увлечением изучали математику, участвовали в олимпиадах, занимались в кружках;

· третью группу составляют ученики, хорошо занимающиеся по математике на протяжении предыдущих лет обучения в силу врожденной старательности. У таких учащихся главным образом развита техника, а не свобода математических вычислений;

· к четвертой группе отнесем учеников, которым легко давалась математика, у них развита интуиция «от природы», они быстро чувствуют, что хочет от них учитель. Таких учащихся утомляют, раздражают встречающиеся громоздкие вычисления, пугают не получающиеся с ходу задачи, они не засиживаются над изучением теории, невнимательно слушают ответы своих товарищей и объяснения учителя, особенно если чувствуют, что тут нельзя быстро получить пятерку;

· пятую группу составляют ученики, которые были сильными в очень слабых классах. Во время ответов других учащихся они, как правило, разговаривают с товарищами, наблюдают за посторонними вещами, происходящими в классе или за окном. Им свойственна завышенная самооценка. На первых порах они и объяснения учителя слушают урывками, им кажется все ясным, кажется, что основные идеи они подхватили на лету, а все остальное уже слушать не надо;

· шестая группа школьников состоит из подростков, которые пришли в профильный класс как в еще одну секцию, кружок. Просто в этот класс шло много учащихся, и они пришли туда «за компанию». Математика их не интересует, постепенно они могут начать не успевать, что становится серьезной проблемой;

· седьмую группу учеников профильных классов могут составить слабые либо «натасканные на поступление» ученики, неспособные освоить профильную программу по математике вообще. Вопрос изучения элективного курса такими учащимися решается индивидуально в каждом отдельном случае.

1.1. Типы курсов профильного обучения

В соответствии с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения.

Базовые общеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариативную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся. В системе профильного обучения они составляют фундамент общей подготовки учащегося и включают: математику, историю, русский и иностранные языки, физическую культуру, а также интегрированные курсы обществоведения или естествознания.

Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы, в первую очередь, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию.

Элективные курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования — в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.

1.2. Виды элективных курсов

По назначению можно выделить следующие виды элективных курсов.

I. Предметные курсы направлены на углубление и расширение знаний по предметам, входящим в базисный учебный план школы.

Предметные элективные курсы делятся на несколько групп:

1) элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне;

2) элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета;

3) элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета;

4) прикладные элективные курсы. Цель этих курсов — знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству;

5) элективные курсы, посвященные изучению методов познания природы;

6) элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы (история математики, физики, биологии, химии), так и не входящего в него (история астрономии, техники, религии и др.);

7) элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т. д.), составлению и решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.

В процессе реализации предметных элективных курсов решаются следующие задачи:

· реализация учеником интереса к выбранному предмету;

· уточнение готовности и способности осваивать предмет на повышенном уровне;

· создание условий для подготовки к экзаменам по выбору, т. е. наиболее вероятным предметам будущего профилирования.

II. Межпредметные элективные курсы обеспечивают межпредметные связи и дают возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне. Они знакомят школьников с комплексными проблемами и задачами, требующими синтеза знаний и способами их разработки в различных профессиональных сферах. Цель — интеграция знаний учащихся о природе и обществе.

Задачами данных курсов являются:

· создание базы для ориентации учеников в мире современных профессий;

· ознакомление на практике со спецификой типичных видов деятельности, соответствующих наиболее распространенным профессиям;

· поддержание мотивации ученика к тому или иному профилю.

III. Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план.

1.3. Цели, задачи и функции элективных курсов

Цель изучения элективных курсов как составляющей предпрофильной подготовки заключается:

· в оказании учащимся психолого-педагогической поддержки в выборе профиля обучения, направления дальнейшего образования и возможного трудоустройства;

· в создании условий для подготовки подростков к социальному, профессиональному и культурному самоопределению.

В соответствии с целями выделяют следующие задачи элективных курсов:

· способствовать самоопределению ученика и выбору дальнейшей профессиональной деятельности;

· создавать положительную мотивацию обучения на планируемом профиле;

· познакомить учащихся с ведущими для данного профиля видами деятельности;

· активизировать познавательную деятельность школьников;

· повысить информационную и коммуникативную компетентность учащихся;

· построение индивидуальной образовательной программы с выбором содержания образования в зависимости от интересов, последующих жизненных планов.

В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные курсы выполняют различные функции:

· «компенсируют» ограниченные возможности учащихся в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей;

· дополняют и углубляют изучение базовых предметов обучения;

· ориентируют в построении индивидуальных образовательных траекторий;

· ориентируют в особенностях будущей профессиональной деятельности.

Функции элективных курсов должны выполняться взаимосвязано, но каждая из функций может быть ведущей.

Элективные курсы выбираются самими учащимися, поэтому они должны соответствовать их потребностям, целям обучения и мотивам выбора курса. К основным мотивам выбора, которые следует учитывать при разработке и реализации элективных курсов относятся:

· поддержка изучения базовых курсов;

· подготовка к ЕГЭ по профильным предметам;

· приобретение знаний и навыков, освоение способов деятельности для решения практических задач;

· профессиональная ориентация;

· возможности успешной карьеры, продвижения на рынке труда;

· интеграция имеющихся представлений в целостную картину мира.

1.4. Подходы к созданию элективных курсов

Выделяют несколько подходов к созданию элективных курсов:

1) фундаментальный подход предполагает разработку содержания курса в логике перехода от фундаментальных законов и теорий к частным закономерностям, направленного на углубленное изучение предмета, ориентированного, в первую очередь, на одаренных детей в данной предметной области, и непосредственно связанного с профильными предметами старшей школы. Например, элективный курс «Дифференциальные уравнения», тесно связанный с физическими явлениями, сопровождает изучение приложений математического анализа в физико-математическом классе;

2) методологический подход предполагает широкое использованиенаучных методов познания, в частности проектной технологии обучения, организации лабораторно-практических занятий, занятий практикумов и т. п. Например, в элективном курсе «Правильные многогранники» предполагается изучение правильных многогранников, их изготовление из подручных средств, изучение сечений многогранников, построение сечений;

3) прагматичный подход предполагает приобретение определенных знаний и умений, обеспечивающих базовый культурный уровень учащихся и широко использующихся в дальнейшей жизни. Например, в элективном курсе «Задачи экономического характера» возможно изучение следующих тем: «Проценты и банковские расчеты», «Использование функций и их графиков в экономике», «Применение прогрессий и начал математического анализа при решении задач экономического характера»;

4) универсальный подход предпочтителен для межпредметных курсов, которые рассматривают одну проблему, явление, понятие с разных сторон в свете разных наук. Например, элективный курс «Системы счисления» может быть посвящен переводу чисел из одной системы счисления в другую и действиям над числами в двоичной системе счисления. Одноименный элективный курс по информатике предполагает реализацию на ЭВМ перевода чисел из одной системы счисления в другую, чаще в двоичную, как наиболее удобную для представления информации в памяти компьютера, а также реализацию выполнения действий над числами в двоичной системе счисления;

5) деятельностно-ценностный подход предполагает знакомство со способами деятельности, необходимыми для успешного освоения того или иного профиля;

6) компетентностный подход. Создание элективного курса, основанного на таком подходе, включает следующую последовательность действий:

· определение значимых для учащихся данного возраста проблем;

· выделение необходимых умений для их разрешения;

· определение компетентностей, требуемых для решения данного типа задач;

· отбор необходимого содержания;

· разработка методов обучения;

· разработка системы оценивания.

Данный подход актуален для выбора темы элективного курса в старших классах.

1.5. Требования к оформлению программы элективного курса

Описание учебной программы должно включать следующие элементы:

· титульный лист;

· пояснительная записка;

· учебно-тематический план;

· содержание изучаемого курса;

· информационное обеспечение учебной программы.

Пояснительная записка раскрывает:

· образовательную область и предмет изучения, функции данного учебного курса;

· новизну, актуальность, педагогическую целесообразность изучаемого курса;

· продолжительность реализации учебной программы (продолжительность образовательного процесса, этапы);

· общие черты методической системы достижения указанных целей, описание средств их достижения (формы и режим занятий);

· ожидаемые результаты;

· формы подведения итогов реализации учебной программы (выставки, учебно-исследовательские конференции).

Учебно-тематический план образовательной программы включает:

· перечень разделов, тем;

· количество часов по каждой теме с разбивкой на теоретические и практические виды занятий;

· формы занятий, планируемые по каждой теме (урок, игра, беседа, дискуссия, экскурсия, конкурс);

· формы подведения итогов.

Содержание изучаемого курса раскрывается через:

· краткое описание тем и разделов;

· краткую характеристику форм занятий по каждой теме;

· описание методического обеспечения каждой темы (приемы и методы организации учебно-воспитательного процесса, дидактический материал, техническое оснащение занятий).

Информационное обеспечение образовательной программы включает:

· список литературы;

· перечень интернет-ресурсов;

· перечень видеои аудиопродукции (компакт-дисков, видеокассет, аудиокассет).

1.6. Инвариантные условия организации и содержание элективных курсов

При всех возможных вариантах организации курсов по выбору относительно инвариантными остаются следующие условия:

· курсы должны быть представлены в количестве, позволяющем ученику осуществить реальный выбор (один из одного — это не выбор);

· курсы должны помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы («Пойду на социально-гуманитарный профиль не потому, что имею тройки по математике, а потому, что намерен стать юристом или журналистом»);

· курсы должны способствовать созданию положительной мотивации обучения на планируемом профиле, помочь ученикам проверить себя, ответить на вопросы: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?». Вместе с тем, надо помнить, что чрезмерная перегруженность курса новым содержанием может не позволить ученику ответить на эти центральные вопросы;

· отбирая содержание, учитель (автор программы) должен ответить на вопрос: «Чем будет полезен ученику данный курс для совершения осознанного выбора профиля обучения в старшей школе?»;

· перспективным является использование современных образовательных технологий, роль которых будет возрастать при профильном обучении на третьей ступени средней школы (информационные, проектные, дистантные и т. п.);

· целесообразно привлечь к преподаванию курсов предпрофильной подготовки не только учителя, ведущего базовый или родственный курс по данному предмету, но и других педагогов, работающих в школе или другом ОУ района;

· курсы должны познакомить ученика со спецификой видов деятельности, которые будут для него ведущими, если он совершит тот или иной выбор (историк, филолог, физик, математик и т. д.), то есть повлиять на выбор учеником сферы профессиональной деятельности, пути получения им образования в профессиональной школе (прежде всего, высшей). Они должны включать пробы по ведущим для данного профиля видам деятельности (чтобы показать специфику данного профиля через деятельность — работа с текстами, анализ источников, использование правовых документов и т. п.);

· курсы, по возможности, должны опираться на какое-либо пособие, это позволит исключить «монополию учителя на информацию»;

· курсы предпрофильной подготовки не должны дублировать базовый курс, они должны подготовить ученика не только к сдаче экзаменов, но и к успешному обучению в профильной школе.

Программа курса по выбору, ориентированного на предпрофильную подготовку, может быть рассчитана максимально на 34−35 учебных часов (из расчета по 2 часа в неделю одного полугодия, чтобы за год ученик смог пройти 2 курса). Возможны и более дробные модули (17 часов — по 4 курса за год).

Содержание курса по выбору должно, с одной стороны, соответствовать познавательным возможностям девятиклассников, а с другой стороны, предоставляя ученику возможность расширить и углубить знания на уровне повышенных требований, развивать его учебную мотивацию.

Содержание курса может представлять собой:

· расширенный, углубленный вариант какого-то раздела базового учебного предмета;

· введение в одну из сопутствующих данному предмету наук, профессий (астрономия, археология, журналистика и т. д.);

· совокупность фрагментов из различных разделов одного или нескольких предметов, если курс ориентирован на определенный уровень обобщения (например, «Естествознание») или освоение определенного вида деятельности («Эксперименты в физике, химии, биологии», «Работа с источниками информации»).

Технологии, используемые в системе курсов по выбору, должны быть ориентированы на то, чтобы ученик получил такую практику, которая поможет ему лучше овладеть общеучебными умениями и навыками, которые позволят ему успешно осваивать программу старшей профильной школы (постановка и демонстрация эксперимента, поиск информации по имеющимся источникам, ответы на вопросы в процессе дискуссии).

1.7. Формы и методы обучения

Методы и формы обучения на элективных курсах определяются требованиями профилизации обучения, учетом индивидуальных способностей, развитием и саморазвитием личности. В связи с этим можно выделить основные приоритеты методики преподавания элективных курсов:

· междисциплинарная интеграция, содействующая становлению целостного мировоззрения;

· обучение через опыт и сотрудничество;

· интерактивность (работа в малых группах, имитационное моделирование, метод проектов);

· личностно — деятельностный подход в обучении;

· лидерство, основанное на совместной деятельности, направленное на достижение общей образовательной цели.

В процессе реализации элективных курсов используются разнообразные подходы к формам и методам организации обучения: академические лекции, семинары, беседы, дискуссии, групповые соревнования, игры, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах и индивидуально, дистанционное обучение. При этом дифференцированный подход к обучению учащихся осуществляется за счет выбора задач и работ, содержащих различные уровни сложности. Ведущее место в обучении следует отвести методам поискового и исследовательского характера, стимулирующим познавательную активность учащихся. Значительной должна быть доля самостоятельной работы с различными источниками учебной информации. Важно предусмотреть использование таких методов и форм обучения, которые давали бы представление учащимся об условиях и процессах будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем обучения, т. е. в какой-то степени моделировали бы их.

При этом главная функция учителя — лидерство, основанное на совместной деятельности, направленное на достижение общей образовательной цели. Такой подход позволяет создать лишенный духа соперничества, конкуренции, агрессивности, доверительный психологический климат, в основе которого взаимообучение, взаимопомощь, сотрудничество. Из единственного источника знаний в традиционном обучении учитель — превращается в «проводника» в мир знаний: эксперта и консультанта — при изучении теоретического материала и выполнения самостоятельных заданий, ведущего — в имитационной игре и тренинге, координатора и консультанта — при выполнении учебного проекта. Выполняемые в ходе обучения проекты и исследования могут пополнить портфолио. Портфолио является одним из механизмов аттестации. Портфолио — портфель различных индивидуальных достижений, включающий коллекции работ (подготовка рефератов, докладов, создание презентаций) и результатов учащегося (результаты письменных работ, итоговой контрольной работы, устный ответ на занятиях, самооценка своих достижений).

Контроль по изучению всего материала может быть осуществлен через творческое задание по составлению задач, проверочные тесты или контрольную работу. Итогом освоения программы элективного курса может также являться констатация личных достижений по освоению содержания, представление индивидуальной творческой работы по выбору учащихся или создание проектов (представление портфолио, т. е. совокупность самостоятельно выполненных работ), как каждым учащимся, так и группой учащихся. При этом может быть организован круглый стол в виде презентации творческих работ, проектов и подведение итогов.

1.8. Учебно-методический комплекс

В качестве УМК по элективным курсам может быть использована научно-популярная литература, действующие учебники, математические справочники, сборники задач, а также учебные пособия по факультативным курсам, учебные пособия для кружковой работы, учебные пособия для учителей и для учащихся.

В качестве основных элементов УМК может включать:

· программу курса: аннотацию, место курса в образовательном процессе, цели и задачи изучения курса, основные компоненты содержания курса, методы и формы обучения, результаты изучения курса, формы контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки, тематический план, дополнительные обучающие материалы;

· методическое пособие для учителя с рекомендациями по проведению занятий, решению задач, организации промежуточного и итогового контроля знаний учащихся;

· учебное пособие для учащихся, включающее задачи, задания и упражнения для закрепления знаний и отработки практических навыков, творческие задания. Основное содержание курса может быть представлено как в виде традиционного учебника, так и в других формах (видеокурс, интерактивная компьютерная программа, интернет ресурсы и т. п.). Изложение учебного материала не должно ориентировать учителя на чтение лекций, т. е. его основная функция — предоставить учащемуся информацию для занятий в классе (тексты, материалы для обсуждения, вопросы для дискуссий), самостоятельной работы по освоению курса, для выполнения домашних заданий, подготовки творческих проектов. Содержание учебников должно учить самостоятельной постановке и решению проблем. При этом желательно использовать проблемный стиль изложения, когда перед учащимися сначала излагается мотивирующая проблема, а затем представляются сведения о путях ее решения, а не сразу готовый результат. Само решение при этом должно быть ясно сформулировано и сопоставлено с поставленной ранее проблемой. Важное значение имеет справочно-методический аппарат учебника: схемы курса и его разделов, рубрикация, словарь, контрольные, проблемные и творческие вопросы и задания, задания к иллюстрациям, шрифтовые выделения (термины, смысловые акценты, примеры, интересные факты и т. п.);

· рабочая тетрадь: основная функция рабочей тетради — не столько организовать воспроизведение материала учебника, сколько предложить учащемуся стать активным участником происходящих вокруг него жизненных событий. Рабочая тетрадьэто задачник и практикум, задания рабочей тетради должны обеспечивать объяснение материала курса, его осмысливание и целенаправленное применение в практической деятельности;

· аннотированный список литературы с указанием, при изучении каких тем следует использовать тот или иной источник.

Таким образом, в первой главе были сформулированы типы курсов профильного обучения; виды, цели, задачи и функции элективных курсов и выделены требования по разработке элективных курсов. С учетом изложенных требований перейдем к рассмотрению методических рекомендаций по изучению функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе.

Глава II. Методика изучения функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе

2.1. Элективный курс «Функции и графики»

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся 9 классов посвящен одному из основных понятий современной математики — функциональной зависимости. Понятие функциональной зависимости, являясь одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Иногда график является единственно возможным способом задания функции. Он широко используется в технике, лежит в основе работы многих самопишущих автоматических приборов. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу и, следовательно, не изучаются.

Данный элективный курс направлен на систематизацию и расширение знаний учащихся, что способствует лучшему освоению базового курса математики, и служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути.

Курс предназначен для изучения в 9-ом классе для подготовки учащихся к обучению в рамках естественно-математического профиля. На изучение элективного курса отводится 15 аудиторных часов.

Наряду с основной задачей обучения математики — обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений по теме «Функции и графики», данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей.

Цели данного элективного курса:

· развитие представлений о ведущем математическом методе познания реальной действительности — зарождении и развитии функций и графиков функций;

· создание мотивационной основы для качественной подготовки учащихся к выпускным экзаменам, к участию в олимпиадах;

· подготовка к осознанному выбору профильного направления на старшей ступени обучения;

· прояснить и закрепить школьный материал, связанный с функциями и их графиками;

· научить применять теоретические знания о функциях при решении практических задач;

· перейти от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому.

Содержание элективного курса должно отвечать следующим требованиям:

· поддерживать изучение базового курса;

· развивать культуру мышления учащихся, умение систематизировать, обобщать, делать выводы;

· прививать умения и навыки практического применения знаний.

Основными мотивами изучения учащимися данного элективного курса являются:

· познавательные и образовательные интересы учащихся;

· подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

· профессиональная ориентация учащихся.

Элективный курс «Функции и графики» является предметным, в нем сочетается углубленное изучение материала как входящего, так и не входящего в учебную программу. В основе его создания лежит компетентностный подход. Изучение элективного курса предполагается проводить в коллективной форме. Теоретический материал предполагается изложить в форме лекций. При проведении лекции возможны беседы с учащимися, обсуждение возникающих по ходу изложения материала вопросов. Для организации работы учащихся на практических занятиях будут использованы индивидуальная, парная и групповая формы обучения. С целью развития навыков самообразования, удовлетворения индивидуальных интересов учеников и развития самостоятельности предлагаются задания на написание рефератов, докладов, создание презентаций, составление упражнений на практическое применение изученного материала. Использование таких форм организации занятий способствует реализации целей и задач курса, так как формирование интереса и развитие способностей возможно только при сознательной заинтересованности самих учащихся.

В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности, так на основе различной степени самостоятельности осваивания материала. Для практической части подбирать задания из действующих учебников алгебры, а для развития мотивации включать задания из материалов выпускных и вступительных экзаменов, следовательно, элективный курс применим для разных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки.

Учебно-методический комплекс элективного курса: действующие учебники алгебры, учебные пособия для учащихся, дополнительная литература по теме «Функции и графики», учебные пособия для учителя, разработки уроков и факультативных занятий по данной теме.

Контроль знаний учащихся по изучению данного элективного курса будет осуществляться с помощью письменных работ, дающих возможность установить степень достижения промежуточных результатов и выявляющие сбой в прохождении программы в любой момент процесса обучения, проверки домашнего задания, устных ответов учащихся, подготовки рефератов, составление портфолио (в качестве накопительной оценки (с. 19)). Общая оценка по изучению данного элективного курса будет выставлена с учетом оценки итоговой контрольной работы и содержания портфолио.

На заключительном этапе курса проводится конференция с подведением итогов изучения элективного курса, рассмотрением достижений и оцениванием учащихся.

Для фиксирования результатов деятельности учащегося на занятии возможно использование индивидуальных карточек:

Методические рекомендации:

· при реализации данного элективного курса необходимо подбирать учебный материал, соответствующий уровню подготовки учащихся;

· научное изложение материала;

· поддержание высокой учебной мотивации школьников;

· поощрение активности и самостоятельности, расширение возможности обучения и самообучения;

· использование разнообразных форм организации и методов контроля;

· развитие навыков рефлексивной и оценочной деятельности учащихся;

· ориентация изученного теоретического материала на практическое применение;

· формирование умения учиться — ставить цели, планировать, организовывать собственную учебную деятельность, владеть способами самостоятельного взаимодействия с различными источниками информации.

Учебно-тематический план

Тема 1. Понятия функции и графика.

На первых двух занятиях учащимся сообщается цель и назначение данного элективного курса. Выявляются и систематизируются их знания о функциональной зависимости. Определяется понятийный аппарат, круг доступных задач, предоставляется дополнительная информация для расширения возможностей учащихся.

Тема 2. Преобразование графиков.

При построении графиков многих функций можно избежать проведения подробного исследования. Изложению методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графиков, посвящены следующие четыре занятия. В результате учащиеся получают практическое руководство для построения эскизов графиков многих функций.

Тема З. Действия над функциями.

В данной теме рассматриваются действия над функциями: сумма (разность), произведение и частное двух функций. В этой же теме рассматривается построение графиков функций, содержащих знак модуля и «кусочно-линейные» функции.

Тема 4. Построение графиков.

В данной теме рассматривают приемы построения графиков сложных функций.

Литература

для учителя:

1. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике [Текст]/ Н. Я. Виленкин.- М.: Просвещение, 1985. — 95 с.

2. Вирченко, Н. А., Ляшко, К. И., Швецов, К. И. Графики функций: Справочник [Текст]/Н. А. Вирченко.- Киев, 1991. — 128 с.

3. Гельфанд, И. М., Глаголева, Е. Г., Шноль, Э. Э. Функции и графики (основные приемы) [Текст]/ И. М. Гельфанд.- М., 1985. — 120 с.

4. Звавич, Л. И., Шляпочник, Л. Я., Чинкина, М. В. Алгебра и начала анализа. 8−11 кл.: пособие для школ с углубленным изучением математики [Текст]/ Л. И. Звавич.- М., 1999. — 352 с.

5. Ершов, Л. В., Райхмист, Р. Б. Построение графиков функций: Книга для учителя [Текст]/ Л. В. Ершов.- М., 1994. — 230 с.

6. Мерзляк, А. Г., Полонский, В. Б., Якир, М. С. Алгебраический тренажер [Текст]/ А. Г. Мерзляк.- М., 2001. — 320 с.

7. Сивашинский, И. Х. Теоремы и задачи по алгебре, элементарным функциям [Текст]/ И. Х. Сивашинский. — М., 2002. — 115 с.

8. Шилов, Г. Е. Как строить графики? [Текст]/ Г. Е. Шилов.- М., 1979. — 98 с.

9. Яремчук, Ф. П., Рудченко, П. А. Алгебра и элементарные функции: Справочник [Текст]/ Ф. П. Яремчук.- Киев, 1987. — 165 с.

Литература

для учащихся:

1. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике [Текст]/ Н. Я. Виленкин.- М.: Просвещение, 1985. — 95 с.

2. Алгебра. 9 класс: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики [Текст]/ Н. Я. Виленкин. — М., Просвещение, 1998. — 384 с.

3. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И Сборник задач по алгебре 8−9 [Текст]/ М. Л. Галицкий.- М., Просвещение, 1995. — 217 с.

4. Гольдич, В. А., Злотин, С. Е. 3000 задач по алгебре для 5−9 классов [Текст]/ В. А. Гольдич.- СПб., Мир и семья, 1997. — 263 с.

5. Карп, А. П. Сборник задач по алгебре для учащихся 8−9 классов с углубленным изучением математики [Текст]/ А. П. Карп.- СПб., Образование, 1993. — 187 с.

6. Ткачева, М. В., Газарян, Р. Г. Домашняя математика: книга для учащихся общеобразовательных учреждений [Текст]/ М. В. Ткачева.- М., 1998. — 149 с.

Материал для занятий

Тема 1. Понятия функции и графика

Занятие № 1. График функции

Цель: актуализировать, обобщить и систематизировать знания учащихся о функциональной зависимости, рассмотреть примеры задач на функциональную зависимость, сформулировать определения понятий: функция, область определения и множество значений функции.

Ход занятия:

Учитель формулирует тему и цель занятия.

Материал данного занятия знаком учащимся из школьного курса алгебры, поэтому актуализацию, обобщение и систематизацию знаний учащихся учитель проводит в форме беседы с использованием дискуссии (разбор примеров и обсуждение возникающих у учащихся вопросов).

Зависимость. В окружающей нас жизни нет явлений или обстоятельств, которые не зависели бы от каких-либо причин их вызывающих, от других обстоятельств, от условий и т. д. Настроение зависит от самочувствия, количество солнечных дней в неделе — от времени года, рост ребенка — от возраста, пройденный путь — от времени и скорости, цена за товар — от его количества и качества, высота дома — от числа этажей, скорость автобуса — от дорожных условий, усталость — от количества проделанной работы и т. д.

Попытка использовать взаимосвязь явлений и обстоятельств в своих интересах побудила людей к изучению таких взаимосвязей, к их достаточно точному описанию. Точность описания основана обычно на использовании количественных характеристик и параметров или, как говорят, величин. Связь между величинами стараются представить в виде точных равенств:, ,, , и т. д.

Любая связь, описанная точным равенством, определяет взаимную зависимость величин. Не всегда связь можно записать, например — возраст и рост ребенка. Но достаточно типичны связи, когда изменение одной из величин неизбежно влечет изменение другой. Такие связи называют функциональными. В бытовом смысле они удобны для прогнозирования, исследования и т. д. Если давление атмосферы резко упало — жди ухудшения погоды, если в баке автомобиля нет бензина — никуда не уедешь.

Наиболее удобными для анализа являются зависимости между двумя величинами, хотя в естественных ситуациях, как правило, в описании какого-либо закона или явления участвует большее количество величин. Обычно в таких случаях выбирают две наиболее интересные и важные в данном случае характеристики, а остальные временно фиксируют, называя их параметрами, а выбранные величины — переменными. Термин «переменная величина» означает лишь, что в проводимых исследованиях этой величине (в отличие от параметров) разрешено принимать разные значения. Одну из выбранных величин, как правило, более просто определяемую или вычисляемую, объявляют независимой (ее называют независимой переменной или аргументом), а другую зависимой (ее называют зависимой переменной). Если окажется, что в условиях рассматриваемой связи каждому допустимому значению независимой переменной величины соответствует только одно значение зависимой, то связь называют функциональной, а зависимую переменную — функцией от независимой. Таким образом, функция — это функциональная зависимость.

Пример 1. Автомобиль равномерно движется по прямолинейному шоссе с 12 до 14 ч со скоростью 60 км/ч. Путь автомобиля, пройденный за ч, равен км, таким образом, км. Здесь независимой переменной является время, которое изменяется от 0 до 2 ч, а зависимой переменной или функцией является расстояние, выраженное в километрах. Имеем при ч км, при ч км и т. д. Очевидно, что изменяется от 0 до 120 км. При математическом описании функции отвлекаются от конкретных единиц измерения и считают, что независимая переменная принимает числовые значения из промежутка, функция принимает числовые значения из промежутка .

Пример 2. Тело падает с высоты 490 м под действием силы тяжести без начальной скорости. Высота , на которой окажется тело через секунд без учета сопротивления воздуха, составит м, т. е. м. Здесь независимой переменной является время, которое может принимать все значения от 0 до 10 с (обозначено через), а функцией является высота, которая может принимать все значения от 490 до 0 м, (обозначена через ). Отвлекаясь от конкретных единиц измерения, считаем, что задана функция, где независимая переменная t принимает числовые значения из промежутка, функция принимает числовые значения из промежутка .

Часто независимую переменную обозначают через, а зависимую через, при этом пишут, ,, и иногда , символизируя тем самым зависимость у от и тот факт, что каждому допустимому значению соответствует (в силу рассматриваемой зависимости) только одно значение. В условиях изучаемого явления (или математической задачи) обычно известно множество разрешенных значений для - область определения функции, а множество соответствующих значений — область значений.

В рассмотренных примерах можно обозначить время через, а путь или высоту через, тогда получим в примере 1 функцию с областью определения и областью значений, в примере 2 функцию с областью определения и областью значений .

Итак, в примере 1 формулы, , определяют одну и ту же функцию. В примере 2 формулы, и также определяют одну и ту же функцию. Аналогично можно задавать любые функции с одинаковыми областями определения. Например, и, и, и и прочие.

Таким образом, функция не зависит от обозначений переменных.

Учащиеся делают записи в тетрадях.

Сформулируем теперь более четкие определения.

Определение 1. Пусть М — некоторое множество чисел. Зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной величины (аргумента) из заданного числового множества определенное числовое значение другой величины, называется функцией.

Часто функции обозначают буквами и т. д., некоторые функции имеют собственные имена: sin, cos, tg, ctg, sgn.

Определение 2. Множество чисел, на котором задана функция, называют областью определения функции.

Будем обозначать область определения функции через D (). Другими словами, D () — это множество всех значений аргумента, для каждого из которых определено значение функции .

Определение З. Множество всех значений функции называется областью значений функции.

Область значений функции обозначается через E (). Другими словами, E () — это множество всех значений, когда принимает всевозможные значения из области определения D ().

Пусть задана функция с областью определения D (). Совокупность точек координатной плоскости с координатами, где «пробегает» все множество D (), называется графиком функции .

Например, точки с координатами, ,, принадлежат графику функции, поскольку, ,,. Графиком функции служит прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. График функции есть полуокружность с центром в точке радиуса 1, расположенная в первом и втором координатных углах.

График функции наиболее доступно и наглядно отражает особенности изучаемой зависимости. Если график построен, можно по его виду сделать ряд важнейших выводов: где функция обращается в нуль, где она возрастает и где убывает, ограничена ли она или может принимать как угодно большие (по модулю) значения. На все подобные вопросы можно ответить, имея лишь приближенный график, точнее даже — эскиз графика. Поэтому построение эскизов графиков — важнейший навык, необходимый как в математике, так и в смежных разделах знаний. Без графиков сейчас не представляется даже информация о текущих экологических и социальных проблемах. График — это язык, средство для передачи емкой, качественной информации об интересующих нас явлениях в их взаимосвязи с сопровождающими (или побуждающими) обстоятельствами.

Подведение итогов занятия

— Какой элективный курс мы начали изучать?

— Какой теме было посвящено наше занятие?

Постановка домашнего задания

Подобрать 2 примера функциональных зависимостей из окружающей жизни.

Учитель сообщает тему следующего занятия «Способы задания функции» и раздает темы докладов для выступления учащихся (3 человека; каждый ученик создает презентацию по выбранной теме доклада. Презентация входит в состав портфолио и будет представлена на заключительном занятии). Предлагаемые темы докладов:

1) аналитический способ задания функции;

2) графический способ задания функции;