Расчет ректификации многокомпонентных смесей на ЭВМ

Как известно, математическая модель ректификации должна учитывать балансовые соотношения, парожидкостное равновесие, кинетику массопередачи и гидродинамику потоков.

Основу модели составляют материальный и тепловой балансы колонны. Парожидкостное равновесие, кинетика массопередачи и гидродинамика потоков представляют собой самостоятельные сложные задачи. Использование различных методов учета фазового равновесия, кинетики и гидродинамики приводит к изменению отдельных коэффициентов или зависимостей в балансовых соотношениях, однако не изменяет общего алгоритма решения.

В связи с большой размерностью задачи и ее нелинейностью разработка универсальных алгоритмов, которые гарантировали бы сходимость при различных способах описания отдельных явлений, представляет значительные трудности.

Основная трудность расчета массообменных аппаратов заключается в обеспечении сходимости решения систем уравнений материального и теплового балансов. Причем эти сложности возрастают для смесей с сильно неидеальными свойствами.

Решение систем уравнений производится итерационно, исходя из некоторого начального приближения для зависимых переменных. Такой подход свойственен всем методам решения систем нелинейных уравнений.

Все методы расчета процесса ректификации можно разделить на две группы: потарелочные и матричные.

В потарелочных методах расчет выполняется последовательно, начиная с куба или дефлегматора от тарелки к тарелке с последующей проверкой выполнения уравнений материального баланса, либо с обоих концов колонны до тарелки питания с проверкой условий сопряжения в месте ввода питания; после очередного расчета уточняется начальное приближение, и вычисление повторяется до выполнения критерия окончания расчетов.

В матричных методах по каждому из компонентов исходной смеси записывается система уравнений, и решение осуществляется матричными методами. Поскольку начальное приближение выбирается произвольно, то после выполнения очередной операции производится коррекция искомых переменных.

Матричные методы находят все более широкое применение, т.к. проявляется меньшая склонность к накоплению ошибок округления и соответственно большая устойчивость вычислительных схем при расчете колонн с несколькими питаниями и боковыми отборами. К тому же при расчете комплекса колонн снимается проблема задания топологии системы, т.к. все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений баланса.

В качестве независимых переменных Льюис и Матисон предложили принимать количественный состав продуктов разделения (потарелочный расчет), а Тиле и Геддес — температуру на каждой тарелке. Наибольшее распространение получили методы, основанные на задании температуры кипения по высоте колонны, известные под названием «независимого определения концентраций». Считается, что примерно 80% задач по расчету ректификационных колонн обеспечивают методы Тиле и Геддеса. Поэтому при разработке алгоритмов расчетов важное внимание уделяется и разработке процедур, ускоряющих время решения и его сходимость. Одним из таких способов, широко применяемых в практике расчетов, является 0-метод коррекции, основанный на коррекции составов, исходя из решения уравнений общего материального баланса колонны.

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предыдущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерна трехдиагональная структура матрицы системы уравнений баланса (уравнение 5.34), простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом НьютонаРафсона (см. раздел 5.5.2). Этот способ обладает квадратичной сходимостью, однако весьма чувствителен к начальному приближению (Приложение 1).

Особое место занимает метод релаксации (см. раздел 5.5.4), заключающийся в том, что расчет нестационарного процесса осуществляется в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений материального баланса для установившегося состояния. Метод релаксации обладает устойчивой сходимостью независимо от сложности задачи, однако по мере приближения к решению задачи скорость сходимости становится очень низкой, что является ограничением широкого применения метода, хотя иногда он является единственно возможным для обеспечения сходимости.

Наряду с перечисленными методами развивается подход, основанный на принципе максимальной энтропии, интересный тем, что не требует при своей реализации итерационных процедур.

Распространенным способом модификации известных методов является расширение класса решаемых задач путем учета разделительной способности контактного устройства (КПД тарелки), расчета колонн с боковыми отборами и рециклами, а также улучшения сходимости путем введения форсирующих процедур, линеаризации равновесных соотношений и т. д. Другой путь состоит в объединении положительных качеств различных методов (линеаризации и релаксации) с целью получения хорошего начального приближения, что позволяет решать более широкий класс задач при высокой скорости сходимости.