Проверка эффективности методов гомотопии

Тестирование разработанного программно-алгоритмического обеспечения проводилась при расчете системы двух взаимосвязанных колонн (рис. 6.15), предназначенных для разделения при атмосферном давлении трехкомпонентной смеси из толуола, бензола и о-ксилола.

Спецификация (исходная информация) для четырех задач, используемых для тестирования, приведена в табл. 6.1. Из таблицы видно, что:

• — отсутствуют данные по первой колонне (предфракционатор), которая содержит 20 ступеней разделения с подачей питания на 12-ю ступень сверху;
• — две различные конфигурации ступеней разделения используются во второй колонне (сепаратор), имеющей три выходных потока: 36 теоретических ступеней разделения (включая полный конденсатор и парциальный кипятильник) для задач I и II и 32 ступени разделения для задач III и IV.

Имеющиеся степени свободы распределяются созданием пяти вариантов исходной информации для расчета по особо важным параметрам технологического процесса. В первой задаче данные исходной информации подобны тем, что преобладают в большинстве работ по расчету взаимосвязанных систем, а именно:

• — флегмовое число R;
• — расход бокового продуктового потока МР;

Рис. 6.15. Система двух взаимосвязанных колонн разделения смеси толуол (х_МР) — бензол (x_D) — о-ксилол (x_w)

Таблица 6.1. Исходная информация тестовых задач.

*.

Величины в скобках являются начальными приближениями параметров.

Nmp - тарелка отбора толуола, N_L — тарелка рецикла потока L Ny — тарелка подачи парового потока в куб колонны.

• — расход кубового продуктового потока W;
• — величина рециклового потока жидкости L из сепаратора в верхнюю часть первой колонны для использования в качестве флегмы и исключения конденсатора первой колонны;
• — величина рециклового потока пара V' из сепаратора в куб первой колонны для использования его в качестве парового потока кипятильника первой колонны.

Соответственно «нестандартные» спецификационные уравнения для задачи I (типичные для всех рассматриваемых случаев) запишутся в виде:

«Нестандартные» неизвестные в этом случае S4,5ц, S4& Qr• Результаты расчета для задачи I, приведенные в табл. 6.2, показывают, что спецификации (исходная информация) адекватны составам продуктовых потоков, свойственным задаче II.

Для задачи II необходимо решить «стандартную» систему уравнений со следующими заданными величинами: L, V составов продуктовых потоков (xd, xmd и xw) и пяти «нестандартных» спецификационных уравнений для флегмового числа /?, 1S4, Si 1,546 и Q_r.

Как и в задаче II, задача III также содержит спецификации на составы продуктов потоков. Отличием является замена величины парового потока V, выходящего из первой колонны, на величину парового потока V покидающего сепаратор.

Последняя задача IV также сохраняет спецификации на состав продуктовых потоков, приведенных для задачи IV, но помимо спецификаций взаимосвязанных потоков содержит спецификации на флегмовое число и величину кубового потока сепаратора.

Для исключения работы сепаратора без флегмы ниже 16- й ступени величина рециклового потока жидкости L должна быть меньше, чем 331,4. Поэтому любая величина I, меньшая 331,4, может быть использована в качестве начального приближения этого параметра. Подобная ситуация возникает и с величиной V

Питание F. кмоль/ч:

бензол — 90,8; толуол — 181,6; о-ксилол — 181,6 *1 ккал/ч= 1,163 Вт.

Цифры в скобках указывают, что значения заданы.

Для успешного решения задачи IV выбирались начальные приближения, являющиеся конечными в задаче III. Эти начальные приближения для задачи Iа есть ?=227кмоль/ч и V-408,6кмоль/ч (см. табл. 6.1). В задаче IWb была сделана попытка решения с очень низкими величинами начальных приближений: ?=45,4 и F-227. Как и в предыдущих случаях, метод Ньютона и алгоритм с использованием методов гомотопии решали эти задачи без затруднений.

Однако результаты для задачи IV6 не совпадают с результатами для задачи IVtf. В частности, потоки пара и жидкости, переходящие в первую колонну и в две средние секции сепаратора, различны, как это показано в табл. 6.2. Таким образом, решение задачи IV не является единственным. Возможное объяснение этой ситуации заключается в том, что функция первой колонны подобна функции середины второй секции сепаратора, т. е. выделение ксилола из бензола и бензола из ксилола.

Суммарное количество жидкости в нижней секции 1 -й колонны и в средней секции сепаратора приблизительно такое, как и для задач Iа и IVb. То же справедливо и для суммарного количества пара (или жидкости) в нижней части 1-й колонны и в нижней части средней секции сепаратора.

В дальнейших исследованиях необходимо определить:

• — точное количество решений задачи IV;
• — область, в которой возможна множественность решений;
• — возможное существование множественности решений в

других взаимосвязанных системах.

В задаче IVc были выбраны завышенные значения начальных приближений для? и V'. Впервые использование метода Ньютона с линейным поиском потерпело неудачу, хотя были предприняты попытки поиска с небольшим шагом в ньютоновском направлении, даже в тех случаях, когда целевая функция не уменьшалась (не выходила за границы реальных физико-химических величин).

Разработанный алгоритм дает устойчивое решение (идентичное задаче IVa) после 22 шагов при большом размере шага и при очень незначительном понижении целевой функции.

Рис. 6.16. Сходимость метода Ньютона и обобщенного алгоритма для четырех задач разделения (табл. 6.1):

а - метода Ньютона для задач I, II; b - то же самое для III, IVo; с — метода Ньютона (1) и обобщенного алгоритма (2) для задачи IVA; d — обобщенного алгоритма для задачи IVc. Цифры вдоль траектории обобщенного алгоритма указывают на число итераций Ранее было показано, что метод Ньютона с линейным поиском эквивалентен методу дифференциальной гомотопии и задача решается интегрированием по методу Эйлера, но без шага коррекции.

Таким образом, метод Ньютона с линейным поиском можно представить с помощью полиномиальной аппроксимации (если Ат минимизируется):

для к-й ньютоновской итерации, то.

где Г* - величина, эквивалентная параметру гомотопии /.

К сожалению, трудно представить траекторию гомотопии в двухмерном пространстве, однако плоскость ||/|| от параметра гомотопии / дает хорошее наглядное изображение сходимости алгоритмов.

На рис. 6.16 показаны траектории сходимости для всех задач, приведенных в табл. 6.2, как для метода Ньютона с линейным поиском, так и для алгоритма с использованием методов гомотопии.

Алгоритмы с использованием методов гомотопии тщательно прослеживают траекторию гомотопии так, что она не может быть потеряна, а метод Ньютона срезает углы, как этого требуют итерации, что не исключает потерю сходимости. Однако каждая итерация метода Ньютона значительно проще, следовательно, необходимо стремиться решать задачи методом Ньютона. Когда же метод Ньютона сходится медленно или не работает (рис. 6.16d), необходимо использовать методы дифференциальной гомотопии.