Бесконечные произведения и приложения их к аналитическим функциям

Бесконечные произведения

Сходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения.

Наряду с бесконечными рядами бесконечные произведения являются весьма ценным аналитическим аппаратом для изображения функций. Прежде чем воспользоваться этим аппаратом для изображения голоморфных функций комплексного переменного, мы должны дать краткий очерк теории бесконечных произведений.

Рассмотрим произведение р_п произвольного числа п числовых множителей, отличных от нуля, которые будем обозначать соответственно через

где tfj, и₂, …, и_п суть комплексные числа:

Давая п значения 1, 2, 3, …, мы получим последовательность комплексных чисел р_1% р_2> …, /V отличных ог нуля, причём могут представиться лишь три случая:

1) Последовательность чисел p_Xt /;₂, ./>_я, … сходится к конечному числу р, отличному от нуля, т. е. lim р_п = р_у р ф 0.

П-+ 00.

2) Последовательность чисел р_1% р_ъ …, р_п,.. сходится к числу О, г. е. lim р_п = 0.

п -* 00.

3) Последовательность чисел p_i9 /;₂, расходится, т. е. не стремится ни к какому конечному пределу.

Б первом случае бесконечное произведение.

называется сходящимся, а число р принимают за значение этого произведения (2). В обоих последних случаях произведение (2) называют расходящимся.

Например, бесконечное произведение сходится, так как в данном случае имеем:

и, следовательно, lim р_п= 2.

п -* от Бесконечные же произведения и.

оба расходятся. В первом из них имеем: и

во втором будет; р_п= 1, если п число чётное, и р_п = если п

нечётное; следовательно, последовательность чисел р_п расходится (случай 3).

Данное понятие сходимости бесконечного произведения можно выразить с помощью неравенств. В самом деле, пусть произведение (2) сходится к числу р:

В этом случае отношение — стремится к единице при неограничен;

Р•".

ном возрастании л, так как имеем:

Очевидно, что, обратно, если это отношение — стремится к единице.

Рп

при неограниченном возрастании п, то произведение (2) сходится к числу р. Другими словами, бесконечное произведение (2) называется сходящимся к числу р (р ф 0), если при любом сколь угодно малом е^>0 найдётся число N~N (z) такое, что имеет место неравенство: