Задача о влиянии степени приоритета на качество управления

(г)

Если обозначим Т₍-_р как среднее время обслуживания г-ой CTpyK;

'j-'C О туры, то степень приоритета оценивается отношением q = —. Если Т_ср

q = 1, то структуры, но времени обслуживания равноценны. Если q > 1, то структура i обладает приоритетом по сравнению со структурой j.

Рассмотрим два одинаковых объекта. Изучим влияние приоритета на точность управления первым объектом.

Пусть во время управления объект описывается линейным СДУ вида формул (4.1) и (4.27) из пособия [31].

Таблица 2.8. Численные результаты, полученные алгоритмом 1 с использованием обобщенного метода типа Розенброка (тест 1).

Тогда в первой структуре, когда управление идет первым объектом, уравнение системы относительно ошибки управления е имеет вид.

а во второй структуре ;

где а. к — постоянные параметры модели.

Тест 1. Сравним качество управления объектом при наличии приоритета и экспоненциальных законах распределения интервалов обслуживания:

Тогда Тср = jv. Тс’р = 1 /щ-

Уравнения на взвешенные начальные первые и вторые моменты m на безусловные моменты т (?), Ф (?) и на вероятности состояния pW (t) в данном случае, согласно формулам (4.30), (4.31) и (4.25) из пособия [31], имеют вид:

Точные значения для стационарных моментов и вероятностей состояний ошибки управления имеют вид:

D CL ^ml ®11.

Влияние приоритета q будет оцениваться отношениями — и ——.

ТП2 Ьу 22.

Для стационарных значений получаем следующие асимптотические оценки:

Таким образом, с ростом приоритета q ошибки в первой системе резко уменьшаются.

Для численного решения систем СДУ в смысле Стратоновича (1.1) будет использован обобщенный метод типа Розенброка (2) из параграфа 1.1. Этот метод для систем с одним шумом имеет второй порядок слабой и среднеквадратической сходимости. В случае линейных систем СДУ с аддитивным шумом метод является асимптотически несмещенным с любым шагом h.

Были проведены численные расчеты алгоритмом 1а (из параграфа.

• 4.3 пособия [31)) при следующих параметрах: k = 1, а = 1. Моделировалось Л^г = 10⁶ траекторий обобщенным методом типа Розенброка с шагом h = 0.01 на интервале [0,100]. Интенсивность v полагалась постоянной, интенсивность v₂ постепенно уменьшалась. В табл.
• 2.8 приведены результаты численных экспериментов. В качестве точных приводятся значения, полученные при решении ОДУ на моменты (2.9) классическим численным методом Рунге — Кутты 4-го порядка. Все моменты были вычислены при t = 100. Для интенсивностей перехода v 1 > 1 к этому моменту времени был достигнут стационар. Для v 1 = 0.1 стационар для второго объекта еще не наступил (это можно видеть из приводимых ниже рисунков).

Для моделирования равномерно распределенных случайных величин на интервале (0,1) использовался датчик псевдослучайных чисел RAND [91].

При численной реализации метода нормально распределенная случайная величина? с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией вычислялась по формуле:? = >/—2 hi а cos 27гаг2, где а и с*2 ^- независимые равномерно распределенные случайные величины на интервале (0,1) [90]. Из табл. 2.8 видно, что с ростом приоритета первого объекта математическое ожидание и дисперсия ошибки первого объекта уменьшаются, а второго — увеличиваются. Скорость изменения моментов зависит от значений интенсивностей и параметров модели (а, к).

На рис. 2.12 2.13 приведены точные значения безусловных математических ожиданий (точки) и их численные оценки (сплошная линия) при У = 0.1 и V2 = 5. Графики демонстрируют высокую точность оценки функционалов от решения.

Гистограммы маргинальной плотности вероятности ошибки управления первым объектом, полученные при численном решении модели для интенсивности v =0.1, приведены на рис. 2.14 (тонкая линия для q = 1, жирная — q = 5, точки — q = 50). На рис. 2.15 приведены аналогичные графики для второго объекта, приоритет которого надает. Из графиков видно, что плотность ошибки управления первым объектом стягивается в точку, в то время как у второго — размазывается по всей положительной оси.

Рис. 2.12. Безусловные математические ожидания первой компоненты решения (тест 1).

Рис. 2.13. Безусловные математические ожидания второй компоненты решения (тест 1).

t

Рис. 2.14. Гистограммы маргинальной плотности вероятности ошибки управления первым объектом для разных интенсивностей.

Рис. 2.15. Гистограммы маргинальной плотности вероятности ошибки управления вторым объектом для разных интенсивностей.

Таблица 2.9. Численные результаты, полученные алгоритмом 1 с использованием обобщенного метода типа Розенброка (тест 2).

Отметим достоинство нашего метода: возможность оценки плотности распределения. Аналитическое выражение для плотности распределения невозможно получить даже в таком простом случае.

Тест 2. Сравним качество управления объектом при наличии приоритета и эрланговском законе распределения интервалов обслуживания 6-го порядка (s = 2,3):

Тогда Т_с⁽р' = s/v 1, Т$ = s/v₂.

Систему ОДУ на точные вероятностные моменты можно получить из уравнений (4.29) (4.31) из пособия [31], если предварительно, используя метод псевдосостояний [56], перейти к экспоненциальным законам распределения. В этом случае при s = 2 вводятся два дополнительных состояния, а при 6 = 3- четыре. Система уравнений на моменты (2.9) увеличится в два (при s = 2) и в четыре раза (при s = 3) соответственно.

Известно [140], что плотность распределения времени появления s-й точки в точечном процессе Пуассона с интенсивностью щ_г имеет эрланговский закон распределения 6-го порядка с параметром щ_г. Поэтому при проведении численных расчетов алгоритмом I (из параграфа 4.3 пособия [31]) моделирование времени перехода из l-й структуры в г-ю проводилось по формуле.

где ctj — независимые случайные величины, равномерно распределенные на (0,1) [91].

Были проведены численные расчеты алгоритмом I (из параграфа 4.3 пособия [31]) при следующих параметрах: к= 1, а = 1. Моделировалось N = 10^е5 траекторий обобщенным методом типа Розеиброка с шагом h = 0.01 на интервале [0,100]. Интенсивность v полагалась постоянной, интенсивность v постепенно уменьшалась. В табл. 2.9 приведены результаты численных экспериментов. В качестве точных приводятся значения, полученные при решении ОДУ на моменты (см. уравнения (4.29) из пособия [31]) классическим численным методом Рунге Кутты 4-го порядка. Все моменты были вычислены при t = 100.

Из табл. 2.9 видно, что при изменении закона распределения времени обслуживания выросли значения моментов для небольших значений q. При q = 50 значения практически не изменились. Хотя в таблице приведены значения только для математических ожиданий ошибки управления, аналогично ведут себя и остальные моменты. Маргинальные плотности ведут себя аначлюгично экспоненциальному распределению.

Таким образом, при экспоненциальном и эрланговском законе управления ошибки незначительно отличаются друг от друга. А рассмотренный алгоритм одинаково хорошо считает, требуя незначительных изменений при моделировании времени обслуживания.