Виды напряженно-деформированного состояния

Напряженно-деформированное состояние — это совокупность внутренних напряжений и деформаций, возникающих при действии на материальное тело внешних нагрузок, температурных полей и других факторов. Совокупность напряжений полностью характеризует напряжённое состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде тензора напряжений, :

Тензор напряжений (иногда Тензор напряжений Коши) — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

Рис. 1.

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой у обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой ф.

Компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат (то есть) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади. На каждой грани параллелепипеда действуют поверхностные силы. Если обозначить проекции этих сил на оси как, то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

По индексу здесь суммирования нет. Компоненты, , обозначаемые также как, , — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на нормаль к площади рассматриваемой грани :

и т. д.

Компоненты, , обозначаемые также как, , — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на касательные направления к площади рассматриваемой грани :

и т. д.

При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

Совокупность компонентов деформации характеризует деформированное состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде тензора деформации:

Тензор деформации — тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации.

Тензор деформации Коши-Грина в классической сплошной среде (частицы которой являются материальными точками и обладают лишь тремя трансляционными степенями свободы) определяется как.

.

где — вектор, описывающий смещение точки тела: его координаты — разность между координатами близких точек после () и до () деформации. Дифференцирование производится по координатам в отсчетной конфигурации (до деформирования). Расстояния до и после деформации связаны через :

(по повторяющимся индексам ведётся суммирование).

По определению тензор деформации симметричен, то есть .

В некоторых источниках этот тензор деформации называют тензором деформации Грина-Лагранжа, а правую меру деформации Коши-Грина (удвоенный обсуждаемый тензор деформации плюс единичный тензор) — правым тензором деформации Коши-Грина.

Нелинейный тензор деформации Коши-Грина обладает свойством материальной объективности. Это означает, что если кусок деформируемого тела совершает жесткое движение, тензор деформации поворачивается вместе с элементарным объемом материала. Удобно использовать такие тензоры при записи определяющих уравнений материала, тогда принцип материальной объективности выполняется автоматически, то есть если наблюдатель двигается относительно деформируемой среды, поведение материала не меняется (тензор напряжений поворачивается в системе отсчета наблюдателя вместе с элементарным объемом материала).

Существуют также другие объективные тензоры деформации, например, тензор деформации Альманси, тензоры деформации Пиола, Фингера и т. д. В некоторые из них входят производные от перемещений по координатам в отсчетной конфигурации (до деформирования), а в некоторые — по координатам в актуальной конфигурации (после деформирования).

То, что в классической сплошной среде энергия деформации зависит лишь от симметричного тензора деформации, следует из закона баланса моментов. Любая взаимно-однозначная функция объективного тензора деформации будет также объективным тензором деформации. Например (в силу симметричности и положительной определенности тензора деформации) можно использовать квадратный корень из тензора деформации Коши-Грина. Однако, задавая определяющие уравнения при помощи этих тензоров, важно следить за предположениями о характере зависимости свободной энергии (или напряжений) от тензоров деформации. Ясно, что предположения о, скажем, дифференцируемости свободной энергии по тензору деформации Коши-Грина, по корню из него или по его квадрату приведут к уравнениям совершенно разных материалов. Линейная по теория общего вида при малых получится лишь в первом случае.

При малых можно пренебречь квадратичными слагаемыми, и пользоваться тензором деформации в виде:

Линейный тензор деформации Коши-Грина (совпадает с линейным тензором деформации Альманси с точностью до знака) не обладает свойством материальной объективности при больших поворотах, поэтому его не используют в определяющих уравнениях для больших деформаций. В приближении малых поворотов это свойство сохраняется.

Диагональные элементы описывают линейные деформации растяжения либо сжатия, недиагональные — деформацию сдвига.

Известны следующие простейшие виды деформаций стержней:

• — осевое растяжение и сжатие — такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении стержня возникает только продольная сила — (работа тросов, канатов, цепей, тяг управления самолетом, стоек шасси самолета, подкосов рамы двигателя, шатунов поршневых двигателей);
• — сдвиг или срез — такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила — (работа болтов подвижных соединений, цапф, пальцев сочленения, сварных швов, шпонок и др.);
• — кручение — такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент — (работа валов, крыла и фюзеляжа самолета, рулей и элеронов, работа стойки шасси);
• — изгиб чистый — такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий моментMх или My

Если в сечении стержня возникает еще и поперечная сила, то изгиб называют поперечным (работа всякого рода балок, лонжеронов крыла, качалок управления самолетом, ручки управления самолетом, стойки шасси).

Рис. 2.

Напряжения. Принято считать, что внутренние силы действуют непрерывно по всему сечению. Мерой их интенсивности является напряжение — величина внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения (рис. 3). Напряжение представляет собой отношение внутренней силы к некоторой площади и измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади: 1 H/м2 = 1Па. В практических расчетах удобно измерять напряжения в мегапаскалях (1МПа = 1Н/мм2= 106 Па = 106 Н/м2).

Через одну и ту же точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, разделяющих тело на две части. В общем случае напряжения по различным сечениям будут различны.

Напряжения в некоторой точке какого-либо сечения тела характеризуются числовым значением и направлением, т. е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению. Направление и числовая величина напряжения зависят от характера и величины внешних сил, приложенных к телу, от положения сечения в теле и положения точки в сечении.

Пусть в некоторой точке К сечения тела по некоторой малой площадке, А действует сила под некоторым углом к площадке (рис. 3).

Рис. 3.

Поделив эту силу на площадь ДА, найдем возникающее в точке К напряжение.

(2.1).

при DА ® 0.

Разложим напряжение на составляющие: (сигма) — нормальное напряжение (по нормали к площадке Д А) и касательное напряжение — (тау). Полное напряжение и его составляющие и являются векторами. Рассматривая нормальное или касательное напряжения по какому-либо сечению, мы тем самым точно фиксируем их направление. Поэтому эти напряжения не принято обозначать как векторы. Нормальное напряжение возникает при сближении или отрыве частиц тела, а касательное при скольжении или сдвиге частиц. При решении задач сопротивления материалов удобнее оперировать не с полным напряжением, а с его составляющими, среднюю величину которых при равномерном распределении нагрузки можно вычислить по формулам:

у = и t = (2.2).

Полное напряжение.

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным, и обозначают упр, фпр. Эти напряжения определяют опытным путем. Во избежание разрушения элементов сооружений или машин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения (у, ф) не должны превышать так называемых допускаемых напряжений, которые обозначаются буквами в квадратных скобках: [ у ], [ ф ]. Допускаемые напряжения — это наибольшие напряжения, при которых обеспечивается надежная работа детали.

[у ] = упр / [n], [ ф ] = фпр / [n], (2.4).

где [n] = 1,2 … 5 и более — коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений и запаса прочности детали производится с учетом характера действия нагрузок, механических свойств материала, назначения проектируемой конструкции, вида деформации детали, наличия или отсутствия концентрации напряжений, точности расчета и других факторов. Назначение недостаточного запаса может привести к разрушению детали, излишне большой запас приводит к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Опасным напряжением для пластичного материала будет предел текучести ут по которому и берется допускаемое напряжение, опасным же напряжением для хрупкого материала будет предел прочности уВ, тогда.

[ у ] = уТ / [n] и [у ] = ув / [n] (2.4ў).

Нагрузка, по которой следует производить расчет на прочность, должна быть больше эксплуатационной, чтобы обеспечить безопасность работы конструкии для этого вводится коэффициент безопасности f — число, показывающее во сколько раз разрушающая нагрузка Fр будет больше эксплуатационной.