Лекция XII МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ

• 1. Различные подходы к введению понятия вектора.
• 2. Методика изучения равенства векторов.
• 3. Методика изучения действий с векторами.
• 4. Методика обучения решению задач с помощью векторов.

Различные подходы к введению понятия вектора

Вектор — одно из фундаментальных понятий современной математики, оно широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного и многомерного пространств.

В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ и др.

В математике иод вектором понимают элемент векторного пространства. Векторное пространство трактуется как множество объектов, на котором введены операции сложения объектов и умножения объекта на действительное число так, что выполняются известные вам аксиомы:

• 1) внутренний закон композиции: для любых элементов я, Ъ, принадлежащих множеству V, существует единственный элемент (а+Ъ)_у принадлежащий множеству К;
• 2) закон ассоциативности: а + (Ь + с) = (а + Ъ)+с, для любых элементов а, Ь, с, принадлежащих множеству V;
• 3) закон коммутативности: а + Ъ = Ь+а, для любых элементов#, 6, принадлежащих множеству V;
• 4) для любых элементов а, Ь, принадлежащих множеству V, существует такой элемент х, принадлежащий множеству V, что а + х = b;
• 5) внешний закон композиции: дтя любого элемента а, принадлежащего множеству V и для любого элемента а, принадзежащего множеству R. существует элемент аа, принадлежащий множеству V.

• 6) закон ассоциативности для умножения: {а (3)а = а ((3а), где <*,/?- действительные числа;
• 7) для любого элемента а, принадлежащего множеству К, справедливо равенство а = а ;
• 8) закон дистрибутивности: аг (я + b) = aa + ab и (а + /3)а = аа + (За.

Как вы видите сами, таким образом понятие вектора нс может быть введено в школьном курсе геометрии. Тем более, если учесть, что понятие вектора вводится в основной школе.

Рассмотрим (кратко) различные интерпретации векторного пространства, которые используют разные авторы при изложении школьного курса геометрии.

1. Множество направленных отрезков плоскости

Сложение определяется следующим образом. Пусть а и b — два направленных отрезка. Отметим произвольную точку А плоскости и отложим от нее направленный отрезок АВ, равный а. Затем от точки В отложим направленный отрезок ВС, равный Ь. Направленный отрезок АС называется суммой направленных отрезков а и Ъ. Введенное таким образом сложение направленных отрезков удовлетворяет аксиомам сложения.

Произведением ненулевого направленного отрезка а на число, А называется такой направленный отрезок Ь, длина которого равна | к | • а |, причем отрезки а и Ъ сонаправлсны, если А'^0 и противоположно направлены, если к<

0. Произведением нулевого направленного отрезка на любое число считается нулевой направленный отрезок. Под нулевым направленным отрезком понимают направленный отрезок, начало и конец которого совпадают (точку). При этом выполняются аксиомы умножения.

Таким образом, множество направленных отрезков плоскости является векторным пространством. В этом случае вектор отождествляется с направленным отрезком.

Такая трактовка вектора используется в учебниках А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна и др.

2. Множество классов направленных отрезков плоскости

Объектами этого множества являются не отдельные направленные отрезки, а классы, состоящие из соиаправлснных отрезков, имеющих равные длины. В качестве «нулевого» объекта выступает множество точек плоскости. Операции сложения этих объектов и умножения на действительное число сводятся к соответствующим операциям с представителями классов, поэтому они удовлетворяют аксиомам векторного пространства.

Таким образом, множество классов, каждый из которых состоит из сонаправленных отрезков равной длины, является интерпретацией векторного пространства. Здесь векторы — это классы сонаправленных отрезков равной длины.

Этот подход реализован в пробном учебнике геометрии для 6−8 классов В. Г. Болтянского, М. Б. Воловича и А. Д. Семушина (М, 1979).

3. Множество параллельных переносов плоскости

Под суммой параллельных переносов Т и Т₂ понимается их композиция. Произведением параллельного переноса Т на число m называется параллельный перенос тТ, расстояние которого равно произведению расстояния, на которое осуществляется параллельный перенос Г, и модуля числа /и, а направление совпадает с направлением параллельного переноса Г, если m > 0 и противоположно ему, если m < 0.

Можно доказать, что введенные таким образом сложение параллельных переносов и умножение параллельного переноса на число удовлетворяет аксиомам сложения и умножения, поэтому множество параллельных переносов плоскости является интерпретацией векторного пространства. Отсюда можно отождествить понятие вектора и понятие параллельного переноса.

Такая трактовка вектора использовалась в ранее действующем учебном пособии А. Н. Колмогорова и др.

4. Множество упорядоченных пар действительных чисел

Определим сложение пар и умножение пары на число следующим образом.

Суммой пар а = (я_ь а₂) и b = (Ь_ь Ь₂) назовем пару а +Ь = (а + Ь, а₂ + Ь₂), а произведением пары а = (д_ь а₂) на число т — пару та = (та_Лу та₂). При этом все аксиомы векторного пространства выполняются. Значит, множество упорядоченных пар действительных чисел есть векторное пространство.

Отметим достоинства и недостатки рассмотренных подходов к введению понятия вектора.

Достоинства трактовки вектора как направленного отрезка:

• 1) Трактовка вектора как направленного отрезка придает этим объектам и операциям над ними хорошую наглядность. Это очень важно, гак как в процессе формирования понятия большую роль играет образный компонент, поэтому желательны такие определения, которые позволяют воображению легко конструировать образы определяемых объектов. Такой вывод согласуется с результатами психологических исследований.
• 2) Трактовка вектора как направленного отрезка обычно используется в физике. Таким образом, она способствует осуществлению межпредметных связей. Следует отметить и то, что в решении геометрических задач вектор используется как направленный отрезок.

Недостатки трактовки вектора как направленного отрезка:

1) Её реализация связана с громоздкостью доказательства свойств сложения векторов и умножения вектора на число. Так, доказательство переместительного свойства сложения векторов предполагает рассмотрение двух случаев: а) векторы а и b коллинеарны; б) векторы а и b неколлинеарны. Доказательство свойства: для любых k, I и вектора a (kl)a = к (1а) требует рассмотрение четырех случаев.

Кроме того, реализация трактовки вектора как направленного отрезка отличается непоследовательностью. При этой трактовке векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Такое определение нельзя считать математически корректным, так как «равные векторы» — это по существу «один и тот же вектор» (аналогично тому, как «равные числа» — по существу «одно и то же число»), тогда как направленные отрезки АВ и CD — это различные отрезки, а не один и тот же отрезок. Тем самым, приняв это определение вектора, мы отождествляем два различных (хотя и родственных) математических понятия: понятие равенства и понятие эквивалентности.

Равенство двух математических объектов есть их совпадение; эквивалентность же объектов означает любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Непоследовательность такой трактовки вектора проявляется при доказательстве теорем или решении задач. Например, доказательство того, что сумма векторов зависит от выбора «начальной» точки предполагает не различать равные векторы, то есть понимать под вектором множество сонаправленных отрезков равной длины, хотя вектор определен как направленный отрезок.

Конечно, эту непоследовательность легко можно исключить, если с самого начала вектор определить как множество сонаправленных отрезков равной длины, но в этом случае наглядность затруднительна.

Трактовка вектора как параллельного переноса наиболее абстракта, лишена наглядности, неприемлема в физике. Ее достоинства — это отсутствие непоследовательностей в действиях с векторами, естественное введение сложения векторов и умножения вектора на число, более простые доказательства основных законов векторной алгебры. Ее реализация требует обширных знаний теории геометрических преобразований. Но геометрические преобразования не составляют основу наших учебников, поэтому такой подход к введению понятия вектора нс используется в настоящее время.

Трудность выбора того или иного определения вектора возникает потому, что в различных научных дисциплинах используются различные виды векторов. Так, в механике обычно рассматриваются так называемые скользящие векторы (вектор, начало которого можно выбирать на некоторой прямой, по которой он может перемещаться) и связанный вектор (вектор, начало которого отождествляется с некоторой фиксированной точкой); в математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

Итак, рассмотрение различных интерпретаций векторного пространства приводит к выводу о том, что наиболее приемлемой в средней школе является интерпретация вектора как направленного отрезка.

Следует заметить, что есть предложения отказаться в школьном курсе геометрии от определения вектора. В этом случае вектор появляется как термин, обозначающий векторные величины; направленный отрезок выступает как изображение этой величины (вектора).

Такой подход реализуется в учебнике геометрии А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика и в «Экспериментальном учебном пособии по математике» для ПТУ М. И. Баш макова (М., 1987).

Последовательность изучения векторных понятий в действующих учебниках геометрии представлена в таблице 14.

Таблица 14.

Изложение теории векторов в учебнике А. В. Погорелова отличается от соответствующего изложения в учебнике Л. С. Атанасяна и др. не только последовательностью, но и методом изложения.

В основу изложения векторов в учебнике А. В. Погорелова положен координатный метод, поэтому здесь широко используются координатные модели векторных понятий и доказательства теорем с использованием координат вектора.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др., а также в учебнике А. Д. Александрова и др. используется метод изложения без использования координат. Это создаст определенные трудности в обосновании законов векторной алгебры. Трудности возникают, главным образом, за счет необходимости рассмотрения большого количества частных случаев. Так, доказательство независимости суммы векторов от выбранной точки требует рассмотрения кроме стандартного случая (точки А, В, С, А, В|, С не лежат на одной прямой), который приведен в учебнике Л. С. Атанасяна и др., случая, при котором все точки Л, В, С, А₉ В_ь С расположены на одной прямой. Доказательство переместительного свойства сложения векгоров предполагает рассмотрение двух частных случаев, а доказательство сочетательного свойства умножения вектора на число — четырех случаев.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. большинство теорем, связанных со свойствами векторов, сообщаются без доказательства. В учебнике А. Д. Александрова и др. — все свойства обосновываются.

Тема «Векторы» как в учебнике Л. С. Атанасяна и др., так и в учебнике А. В. Погорелова, является последней в курсе геометрии 8 класса. Это, очевидно, отражает точку зрения авторов на функции векторов в изложении геометрии: им отводится, в основном, служебная роль (способствовать изучению физических векторных величин). Об этом говорит и то, что векторы никак нс связаны с изучением основного содержания курса геометрии.

В действующих учебниках геометрии вектор трактуется как направленный отрезок. При введении понятия вектора следует обратить внимание на понимание различия между отрезком и направленным отрезком. Ученики должны усвоить, что отрезок АВ и отрезок В, А — один и тот же объект, направленный отрезок АВ и направленный отрезок ВА — разные объекты. Для этого можно использовать упражнения.

• 1. Сколько отрезков и сколько векторов определяют две (три) различные точки?
• 2. Начертите параллелограмм. Назовите все отрезки, концами которых являются вершины параллелограмма. Назовите все векторы, определяемые вершинами параллелограмма. И т. д.