Гипербола по пяти точкам

В отличие от эллипса гипербола и парабола не являются объектами AutoCADs, поэтому алгоритм их построения по заданным точкам существенно сложнее, чем рассмотренные выше для эллипса.

Последовательность решения задач с гиперболой (и параболой, см. ниже): параметризацией найти точки фокуса, параметризацией построить две касательные; приняв касательные за очерковые образующие кругового конуса, построить сплайн-кривую гиперболы методом «выхода в пространство».

Точки фокуса гиперболы

Для нахождения точек фокуса реализуем основное свойство гиперболы: разность расстояний от произвольной точки до двух точек, называемых фокусами, является величиной постоянной 8. Кроме того, знаем, что гипербола определяется пятью точками.

Пусть заданы пять точек А, В, С, D, Е, расположенных в одной плоскости (МСК), причем никакие три точки из заданных не принадлежат одной прямой. Требуется найти точки фокусов гиперболы F1, F2.

Поскольку пять точек могут определять гиперболу или эллипс, то, прежде всего, необходимо исключить эллипс. Такая проверка необходима, если расположение точек указывает на возможность построения по ним одной ветви гиперболы или дуги эллипса. Для исключения эллипса можно сделать попытку его построения по заданным пяти точкам (см. выше). Должно выйти сообщение о невозможности такого построения. Парабола исключается, поскольку она определяется четырьмя точками (см. ниже). Остается гипербола.

Рекомендуем для тестирования нашего примера задать точки с координатами (рис. 28.6, а). Расположение точек характерно для гиперболы, поэтому в этом примере проверка «на гиперболу» не требуется.

Первоначально поставим маркеры искомых точек F1, F2 предварительно. Затем построим геометрическую конструкцию, отражающую взаимосвязи искомых точек с заданными А— Е, свойственные гиперболе. Приложим к элемеп;

Рис. 28.6. Построение гиперболы по пяти точкам

там конструкции геометрические зависимости. Это приведет к перемещению маркеров F1, F2 в искомое точное положение:

• ? ставим маркеры заданных точек А—Е и фиксируем («замок») маркеры (рис. 28.6, 6);
• ? ставим маркеры искомых точек F1, F2 в ожидаемом положении. В нашем примере можно в первом приближении задать Р/(40,15), F2 (55, 75);
• ? временно поставим фиксацию на точки F1_} F2.

Воспроизводим основное свойство гиперболы — постоянную разность расстояний от точек гиперболы до ее фокусов. Для каждой из заданных точек Л—Е строим по три отрезка. Начнем с точки А (см. рис. 28.6, б):

? точку А соединяем отрезком (A—F1) с ближним к ней фокусом F1 и двумя отрезками (А— А*) и (А*— F2) с точкой дальнего фокуса F2. Задаем совпадение всех конечных точек отрезков между собой и с маркерами точек F1, F2. Задаем равенство длин отрезков (A—F1)=(A—A*) и коллинеарность (принадлежность одной прямой) отрезков (А—А*) и (A*—F2). Созданную тройку отрезков тестируем на целостность, перемещая маркеры точек F1 и F2, сняв с них фиксацию на время тестирования.

Отрезок (A*— F2) = 8 является разностью расстояний точки А до точек фокуса F1, F2. Выделяем его красным цветом.

• ? Подобным образом строим тройки отрезков для остальных точек В — Е (рис. 28.6, в).
• ? Проверьте, что в точках F1, F2 задано по пять зависимостей совмещения.

Завершающий этап — задание равенства длин разностных отрезков:

• ? снять фиксацию с точек F1, F2;
• ? присвойте зависимости равенства длин разностным отрезкам. Присвоение выполняется с опцией Несколько.

Если при присвоении равенства разностных отрезков произошел «срыв» конструкции, следует переместить маркеры точек F1, F2 либо изменить последовательность указания отрезков при присвоении зависимости равенства.

В итоге маркеры F1, F2 приняли положение точек фокуса гиперболы. Для справки: в нашем примере точки фокуса приняли положение F1 (36.84,18.90), F2 (54.88, 68.58).