Введение. 
Методика обучения математике. 
Формирование приемов математического мышления

Математика обычно считается самым трудным предметом школьного обучения. Причину этого видят прежде всего в абстрактности ее содержания. Такое объяснение выглядит особенно убедительным, когда речь идет об учащихся начальной школы. Известно, что интеллект детей этого возраста находится, как правило, на сенсомоторной стадии. Это означает, что действия с абстрактными объектами для них, действительно, весьма затруднительны.

Вместе с тем, трудности, испытываемые учащимися при изучении математики, имеют, по нашему мнению, другие причины. Они связаны с тем, на какую психологическую основу опирается учебный процесс:

а) какое понимание природы человеческих способностей реализуется в этом процессе; б) как представляется процесс развития интеллекта и характер отношений между обучением и развитием; в) какая модель процесса усвоения лежит в основе учебного процесса.

В психологии ни по одной из названных составляющих нет единой точки зрения; следовательно, неизбежен выбор. Естественно, учитель сознательно может не делать такого выбора и вообще не задумываться над психологической основой, реализуемой им в учебном процессе. Однако в основе обучения всегда лежит то или иное понимание вышеназванных составляющих. И это понимание может быть выявлено.

Если обратимся к первой составляющей — природе человеческих способностей, — то увидим, что в психологии существует две диаметрально противоположные точки зрения. Согласно одной из них источник способностей заключен в наследственности. Это означает, что человеку «на роду написано», какие у него будут способности и каков будет уровень их развития.

Сторонники второй точки зрения также признают важную роль наследственности в развитии способностей, но видят в ней не источник их развития, а всего лишь условие этого развития. В качестве же источника развития человеческих способностей выступает социальный опыт, который и должен быть передан новому поколению в процессе обучения. Согласно первой точке зрения развитие человеческих способностей подчиняется биологическим закономерностям. Сторонники второй точки зрения ставят способности в зависимость от социальных законов, подчеркивают их социальную природу. Эта точка зрения завоевывает все большее и большее число сторонников. Если учитель математики придерживается первой точки зрения на человеческие способности, т. е. считает, что математиками родятся, то его главная задача состоит в выявлении этих способностей, в создании условий для самореализации учащихся.

При занятии второй позиции задача учителя куда трудней: он должен обеспечить формирование математических способностей у обучаемых в процессе изучения ими математических дисциплин.

К сожалению, практика показывает, что большая часть математиков — приверженцы генетической природы математических способностей. Так, довольно часто учителя математики объясняют плохую успеваемость ученика по математике тем, что у него нет математических способностей. При этом могут добавить, что и родители этого ученика не отличались большими успехами по математике. Очевидно, что эти учителя признают врожденность математических способностей и не считают возможным их формирование в процессе изучения математических дисциплин. В этом случае учитель фактически снимает с себя ответственность за успехи учащихся.

Аналогичная ситуация и с проблемой развития интеллекта в целом. Самой распространенной теорией развития интеллекта является теория Ж. Пиаже. Согласно этой теории до стадии логических операций человек доходит к подростковому возрасту. Вместе с тем, логические операции необходимы ребенку с первых шагов изучения математики. Без их использования математика не может быть ни понята, ни адекватно усвоена. Если согласиться с точкой зрения Ж. Пиаже, то надо или не изучать математики до подросткового возраста, или изучать не адекватно, мириться с плохой успеваемостью по математике. Принятие этой точки зрения предрешает и вопрос о соотношении обучения и развития: обучение должно опираться на достигнутый уровень развития, идти сзади него. Наоборот, если признать социальную природу законов развития человеческой психики, в том числе и интеллекта, то по-другому будут решаться и вопросы использования логического мышления, и соотношения обучения и развития.

Психологическую основу исследований, результаты которых изложены в данной книге, составляет следующее понимание вышеизложенных составляющих: во-первых, авторы исходят из того, что человеческие способности имеют не наследственную, а социальную детерминацию. Это означает, что человек не родится с заложенными в нем способностями, а приобретает их в процессе жизни. Источник человеческих способностей — социальный опыт. Социальный опыт пополняется индивидуальными достижениями, но эти достижения имеют место только после того, как человек усвоит определенную часть этого опыта.

При раскрытии процесса интеллектуального развития важно учитывать, что оно идет по двум линиям. Первая линия — функциональное развитие. Она связана с накоплением все новых и новых видов интеллектуальных действий, с усвоением различных видов познавательной деятельности. Это линия количественных накоплений. Вторая линия интеллектуального развития — линия качественных изменений в функ- б

ционировании интеллекта, — его переход с одной стадии на другую. Эти две линии развития не изолированы друг от друга, каждая из них влияет на другую. Обучение имеет прямое отношение к первой из указанных линий развития, а через нее влияет и на вторую.

При решении вопроса о соотношении обучения и развития авторы данной книги разделяют точку зрения Л. С. Выготского: обучение ведет за собой развитие. Принятие этой точки зрения ставит проблему выявления условий, при которых обучение дает наибольший эффект развития.

В силу этого одна из центральных задач — определение таких видов познавательной деятельности, усвоение которых эффективно влияет на развитие.

Результаты проведенных исследований говорят о том, что одно из главных требований к этим видам деятельности — их опора не на частные знания, а на такие, которые составляют основу значительных разделов изучаемых предметов, являются инвариантными. Формирование таких видов познавательной деятельности фактически и есть путь для обеспечения обучаемых познавательными способностями. При изучении любых предметов, и прежде всего — при изучении математики, необходимы два вида приемов познавательной деятельности: общие и специфические. Среди общих видов главное место занимают логические приемы мышления. Что касается специфических, то они зависят от особенностей изучаемых предметов. Так, изучение математики связано со специфически математическими видами познавательной деятельности (математическими способностями), которые не могут быть сформированы при изучении других предметов. Аналогичная ситуация и с другими областями знаний.

В данной книге представлены как логические, так и математические виды познавательной деятельности, опирающиеся на инвариантные знания. Во всех случаях при организации усвоения этих видов деятельности была использована деятельностная теория усвоения, заложенная трудами П. Я. Гальперина. Согласно данной теории усвоения, знания всегда являются элементами тех или иных видов деятельности, действий человека. Действие — это та единица, которую надо использовать при анализе любого процесса учения. Без обращения к действиям невозможно конструктивно и обоснованно построить цели обучения, проконтролировать качество усвоения знаний. В самом деле, что значит «знает» — «не знает»? Что является критерием знания? Как добиться объективности в оценке уровня знаний? Ни на один из этих вопросов нельзя дать ответа, не обращаясь к тем действиям (умениям, навыкам, способностям), в которых эти знания должны функционировать. В силу этого при обучении любому предмету должна быть не только программа предметных знаний, но и программа тех действий (умений), в которых учащиеся должны использовать эти знания. В связи с этим при организации процесса усвоения знаний большое внимание уделяется тем действиям, которые учащиеся используют в качестве средств усвоения этих знаний. Если цели обучения предполагают использование знаний в таких действиях, которыми учащиеся не владеют, то обучение должно одновременно обеспечить усвоение и этих действий, и этих знаний.

Согласно данной теории, процесс усвоения включает шесть этапов, при прохождении которых усваиваемые действия и знания постепенно превращаются из внешних, материализованных во внутренние, умственные. Изменения происходят по ряду и других характеристик: по мере обобщенности, самостоятельности, автоматизированное™.

Следование требованиям данной теории усвоения позволяет управлять процессом усвоения и формировать познавательные действия и связанные с ними знания с заранее намеченными качествами.

Приведенные в данной книге результаты исследований показывают, что организация обучения с использованием вышеизложенной психологической основы позволяет всем учащимся, как начальной, так и средней школы, успешно усваивать математику, свободно и самостоятельно использовать полученные знания в новых условиях.

В данную книгу включены работы, выполненные на материале математики начальной школы, а также на материале разных разделов курса планиметрий.

В статье Н. Ф. Талызиной — «Формирование математических понятий» — рассмотрен ряд логических, психологических и дидактических аспектов, связанных с процессом усвоения математических понятий в общеобразовательной школе.

Прежде всего, автор останавливается на проблеме формализма в усвоении математических понятий и вскрывает его причины. В связи с этим анализируется роль определений в процессе становления понятий, показывается необходимость формирования определенных познавательных действий у обучаемых. Понятие выступает как продукт действий учащихся, направленных на объекты того класса, понятие о котором формируется у обучаемых. Показано, что процесс усвоения понятий должен быть организован как процесс решения специально подобранных задач.

Статья Н. Г. Салминой — «Обучение математике в начальной школе» — посвящена анализу главных условий, определяющих успех начального этапа математического образования.

Прежде всего, автор анализирует основные компоненты, которые должны войти в содержание начального курса математики. Кроме математических знаний и действий, необходимы еще две составляющие: а) знаково-символические знания и действия и б) логические. В статье показано, что без последних двух компонентов не может быть адекватного усвоения собственно математического содержания курса. В статьечитатель найдет не только указание на эти компоненты, но и их конкретное раскрытие: основные знания и действия, составляющие содержание всех трех компонентов начального курса математики.

Второй аспект анализа указанного курса касается принципов построения математического содержания. Автор показывает знания и действия, составляющие основу системы счисления, причем не только десятичной, но и любой другой.

Наконец, в статье рассмотрены вопросы организации процесса усвоения. При этом автор рассматривает как общие требования, касающиеся всех трех вышеуказанных составляющих, так и специфические, отражающие особенности каждой из них.

В статье Г. Николы и Н. Ф. Талызиной — «Формирование общих приемов решения арифметических задач» — анализируются причины затруднений, которые испытывают учащиеся при решении таких видов арифметических задач, которые обычно называются «задачи на бассейны», «задачи на работу», «задачи на движение» и т. д. Проведенный анализ показал, что в курсе арифметики более тридцати разновидностей задач, связанных с разного рода процессами. Каждая разновидность предстает перед учащимися как самостоятельный вид задач («на движение», «на работу» и т. д.). В силу этого, научившись решать один из этих видов задач, учащиеся нередко затрудняются с решением задач, относящихся к другой частной разновидности. Это говорит о том, что они не видят за разными сюжетами этих задач их общей основы. Общую основу всех этих разновидностей задач составляет то, что все они связаны с анализом процессов. Естественно, если ученик не понимает, что такое процесс, не знает, какие величины связаны с ним, какими отношениями эти величины связаны друг с другом, то он не может адекватно выбрать арифметические действия и их последовательность для решения поставленной перед ним задачи. В школе учащиеся изучают процессы после изучения арифметики: в курсе физики и только применительно к частным видам движения. В силу этого, многие учащиеся при изучении арифметики не имеют необходимых знаний о процессах и не могут решать задачи, связанные с анализом разного рода процессов. Таким образом, трудности в решении данного вида задач выходят за рамки арифметики. Собственно арифметических трудностей у таких учеников обычно нет: они успешно справляются с решением примеров на все четыре действия. Но в задаче главная проблема — правильный выбор действий. А это предполагает понимание той ситуации, которая описана в условиях задачи.

В данной работе описаны не только причины трудностей в решении задач данного класса, но и путь, позволяющий преодолеть эти трудности.

В экспериментальном обучении главное внимание авторов статьи было сосредоточено на вооружении учащихся общим методом анализа процессов. Учащиеся при этом ориентировались на основные величины, связанные с процессом (действующие силы, скорость, время, продукт процесса), и их отношения. Такой тип ориентировки является инвариантным, он позволяет понимать и решать любую разновидность задач данного класса.

Статья Г. А. Буткина — «Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства» — посвящена анализу действий, слагающих один из основных приемов доказательства. Известно, что доказательство теорем является главным камнем преткновения учащихся при изучении школьного курса планиметрии. Они заучивают готовые доказательства, воспроизводят их по требованию учителя и довольно быстро забывают. Характерно, что если изменить положение чертежа, обозначить его элементы другими буквами, то, как правило, учащиеся уже не могут «доказать» теорему. Это лишний раз подтверждает, что изучение теорем у таких учеников остается на уровне простого заучивания, не приводит к формированию приемов доказательства, составляющих важную часть математического мышления.

Исследования, проведенные с вышеуказанных психологических позиций, позволили установить, что все теоремы, изучаемые в школе, могут быть доказаны с помощью трех методов:

• а) метод подведения под понятие путем выделения системы необходимых и достаточных признаков, скрытых за другими понятиями;
• б) метод доказательства от противного (противоположного);
• в) использование дополнительных построений (примером может служить доказательство теоремы Пифагора о равенстве суммы квадратов катетов квадрату гипотенузы).

В настоящее время изучено содержание каждого из этих методов, проведено экспериментальное обучение по формированию у обучаемых действий, слагающих каждый из них. Во всех случаях после такого обучения учащиеся могли самостоятельно доказывать новые теоремы, причем нередко несколькими способами. Важно также отметить, что эти возможности учащиеся сохраняли на протяжении длительного времени. Эти результаты говорят о том, что в данных случаях учащиеся приобретают общие методы математического мышления и в силу этого обнаруживают независимость от конкретных особенностей не только чертежей и обозначений, но и содержания самих теорем.

В статье Г. А. Буткина представлены результаты формирования только первого метода доказательства. Читатель найдет описание всех действий, которые необходимо сформировать у обучаемых для овладения этим методом. Описана также методика обучения и его результаты. Полученные результаты говорят о высокой степени эффективности такого подхода к изучению геометрических теорем. Следует также отметить, что сформированный метод может использоваться не только в геометрии, но и далеко за ее пределами. В частности, он составляет основу медицинской диагностики. Возможности широкого переноса данного метода доказательства объясняются тем, что основу его содержания составляют логические операции, которые независимы от конкретного содержания материала. При использовании этого метода в новых условиях, как внутри геометрии, так и за ее пределами, общая логика рассуждения сохраняется, изменения касаются конкретю ной системы понятий и их признаков, которые характеризуют каждую новую ситуацию.

Статья И. А. Володарской — «Формирование обобщенных приемов геометрического мышления» — посвящена анализу афинных преобразований (группа движений). В принципе логика этого исследования совпадает с логикой ранее нами описанных. Прежде всего, автор проанализировал конкретные виды преобразований, которые в школе изучаются на протяжении нескольких лет. При этом каждый частный вид преобразований выступает перед учащимися как новый предмет для усвоения. В результате обучаемые не видят той общей основы, которая лежит за каждым частным случаем преобразований. Исследование И. А. Володарской показало, что эта общая основа (инвариант) состоит из четырех компонентов: 1) начальный объект преобразований; 2) объект, по отношению к которому производится преобразование; 3) действия, с помощью которых происходит преобразование; 4) конечный объект преобразований. Эти элементы инвариантны: они имеют место в любом конкретном случае преобразований данного вида. Но в каждом частном случае преобразований эти элементы представлены как варианты инвариантных составляющих. Если обратимся к инвариантным элементам, то увидим, что первый из них — начальный объект — может варьировать очень широко: им может быть любая геометрическая фигура (точка, отрезок, окружность и т. д.). Варианты второго инвариантного элемента ограничены: это может быть точка, прямая, плоскость. Аналогичная ситуация с третьим элементом: преобразование совершается с помощью поворота, переноса на вектор или путем совмещения того и другого. Последний инвариантный элемент — конечный объект преобразований — также варьирует. Конкретный вариант конечного объекта определяется специальными требованиями к нему со стороны формы, размеров и пространственного положения. В одних случаях начальный объект сохраняет и форму, и размеры, но меняет пространственное положение (поворот, например). В других — изменяется и положение, и размеры (подобие); в третьих случаях изменения касаются трех характеристик (гомотетия).

Таким образом, все множество преобразований данного вида может быть получено путем варьирования инвариантных переменных по одной или нескольким линиям.

Экспериментальное обучение показало, что вооружение учащихся инвариантными знаниями и обобщенным методом работы с ними позволяет обучаемым самостоятельно получать все частные виды преобразований, видеть их как элементы единой системы, легко устанавливать общие и отличительные характеристики при сравнении отдельных вариантов. Важно при этом отметить, что такой путь обучения позволяет учащимся глубже понять сущность геометрических преобразований.

В статье И. А. Володарской и Т. К. Никитюк — «Формирование общего приема решения задач на построение» — проведен анализ и еще одной составляющей начального курса геометрии. Прежде всего, авторы представили результаты анализа данной проблемы как в практике обучения, так и в методической литературе. В статье показано, что методисты постоянно ведут поиск рациональных методов изучения данного раздела геометрии, в том числе — стремятся выделить общие моменты в решении задач на построение. Однако до конца эта проблема остается нерешенной, и учащиеся, как правило, акцентируют внимание на исполнительной части. Они нередко механически производят построения, не понимая, почему надо действовать так, а не иначе.

Далее авторы представляют результаты своего анализа различных задач на построение. Главная цель этого анализа — выделение инвариантной основы. Так, в статье показано, что при решении почти всех задач на построение с помощью циркуля и линейки используются аналогичные действия, варьирует лишь последовательность операций.

В статье представлено содержание общего приема решения задач на построение с помощью циркуля и линейки. Этот прием включает тринадцать компонентов. В последней части статьи авторы показывают возможности использования этого приема при решении конкретных задач на построение.

Как видим, в целом в сборнике представлен новый подход ко всем основным разделам как математики начальной школы, так и курса планиметрии.

Книга рассчитана, прежде всего, на учителей математики средней школы, но она может также представлять интерес и для преподавателей других предметов. Кроме того, ее читателями могут быть методисты, дидакты, психологи и все те, кто интересуется новыми подходами в сфере образования.

Я. Ф. Талызина