Организация усвоения отношений между скоростью, временем и «продуктом» процесса

Поскольку скорость является понятием относительным, воплощающим в себе отношение между 5 и Г, то при формировании именно этого понятия надо было научить испытуемых устанавливать отношения между основными величинами, характеризующими процесс.

Естественно, что при организации, усвоения соотношений между 5, V и Т, мы намеренно избегали формального выведения этих величин по формулам. Мы хотели, чтобы учащиеся работали с самими величинами, получали искомую величину вначале на моделях: Без этого не могут быть поняты и полноценно усвоены отношения между указанными величинами, характеризующими любой процесс.

Прежде всего испытуемые должны были усвоить, что скорость можно определить только при наличии «продукта», полученного данной действующей силой, и времени, затраченного на его получение. С этой целью предъявлялось несколько задач с лишними и недостающими условиями. Вот пример задачи с недостающими данными: «Пешеход отправился в путь в 5 часов утра. С какой скоростью он шел, если проделал 20 км пути?» Приведем одно из решений этой задачи.

Испытуемая Лена Р. читает задачу, записывает с помощью карточки условие и получает два неизвестных: изображает на модели путь (5) и хочет его делить, но не находит Т, молчит.

Экспериментатор. Что требуется узнать?

Испытуемая. Скорость.

Экспериментатор. Что для этого нужно знать?

Испытуемая. 5 и Т.

Экспериментатор. Чего недостает у тебя?

Испытуемая. Почему в задаче не дано 7? Дано только, когда отправился.

Экспериментатор. Можно решить задачу, если не знаем…

Испытуемая. Нет, не можем решить, не знаем, сколько времени пешеход шел.

Экспериментатор. Правильно. Напиши вывод: «Задачу нельзя решить».

Задачи с лишними условиями давали возможность показать не только необходимость наличия двух величин (5 и Т, например) для получения третьей (V), но и принадлежность при этом всех величин одной и той же действующей силе. Кроме того, в таких задачах особенно рельефно выступала роль вопроса задачи как направляющего поиск необходимых данных. Так, при решении задачи: «Бригада из трех трактористов вспахала 38 гектаров. Тракторист Ваня, член этой бригады, вспахал 12 гектаров за 6 часов. С какой скоростью пахал Ваня?» 14 испытуемых начали писать все данные, имеющиеся в условии задачи. На вопрос «Кто действует?» отвечали: «Бригада». На вопрос «Что выполняет ???» отвечали: «Б = 38 га». А это лишние данные.

Четверо испытуемых с первого же раза начали искать данные, касающиеся Вани, о скорости работы которого спрашивается в задаче. Сделанная ими запись условия имела такой вид: 1) Ваня; 2) Б — 12 га;

3) Т = 6 ч; 4) К = ?

В дальнейшем с помощью таких задач у всех испытуемых воспитывалась установка на вопрос как направляющее начало в поиске необходимых данных.

На материальном этапе испытуемые решали 6—7 задач на нахождение скорости. Когда учащиеся могли точно определить понятие «скорость» и описать способ его получения (формулу), мы переходили к величине «продукта» процесса (5) как отношения между V и Г.

Вначале испытуемые конструировали «продукт» процесса по данной скорости и времени. Предъявлялась следующая задача: «Сколько деревьев посадили ученики за 7 часов, если за один час они сажали 3 дерева?» К задаче давалась следующая модель:

Испытуемый читал задачу и объяснял, что изображено на модели. Все испытуемые легко с этим справились. После этого они переходили к краткой записи данных с помощью вышеприведенной карточки № 1. Пять испытуемых допустили при записи ошибку: скорость работы (3 дерева в час) приняли за всю работу и записали «5 = 3 д», но после указания экспериментатором ошибки — исправили.

На схеме, расположенной под текстом задачи, испытуемые моделировали 5. Вот протокол испытуемого Сережи П.:

Экспериментатор. Покажи первый час работы.

Испытуемый (показывает).

Экспериментатор. Сколько посадили ученики за этот час?

Испытуемый… 3 дерева.

Экспериментатор. А за второй час?

Испытуемый. 6 деревьев {неправильно).

Экспериментатор. Покажи второй час!

Испытуемый. Вот (показывает).

Экспериментатор. Сколько они посадили деревьев за этот второй час?

Испытуемый. Тоже 3 дерева.

Экспериментатор. А за третий час?

Испытуемый. Тоже 3.

Экспериментатор. Построй всю работу, которую ученики сделали за 7 часов; каждый час они сажали по 3 дерева. Как нарисовать все посаженные ими деревья?

Испытуемый {на каждый час намечает по 3 точки и получает ряд 5).

Экспериментатор. Получил ты Б? Чему оно равно?

Испытуемый {считает). 21 дерево.

Экспериментатор. Напиши формулу нахождения Б.

Пять испытуемых при построении 5 зачеркивали последовательно по одной единице времени и изображали по 3 дерева. Все эти испытуемые затруднялись в записи формулы («Я отнял время… Нет, делил Т»). Этот факт показывает, что материальное действие должно быть построено так, чтобы то свойство или преобразование, которое хотим выявить, выступило ясно. При данной организации действия ученики одновременно и брали по 3 дерева 7 раз и при этом отнимали единицы времени. Запись формулы как сжатой речевой характеристики должна отражать однозначно действие учащегося. Поэтому при работе с остальными испытуемыми мы конструировали 5 без зачеркиванию использованных единиц времени.

Для соотнесения единиц времени с работой, которая выполняется за каждую единицу, можно использовать стрелки: ученик выделяет очередную единицу времени на модели и изображает соответствующую ей работу:

Рис. 3.4.

Учащиеся решали еще 5—6 задач разных видов (с недостающим условием, с лишними условиями и т. д.), получая «продукт» процесса в материализованной форме. Когда учащиеся точно определяли понятие «результат процесса» и решали задачи уже без опоры на карточку, мы переходили к организации усвоения времени протекания процесса, как отношения между «результатом» процесса и скоростью.

Обучение также проходило вначале на материализованных моделях: отдельно изображались скорость и «продукт» процесса. Так, например, к задаче: «Бригада посадила 24 дерева. Известно, что за час бригада сажала 4 дерева. Сколько времени работала бригада по выполнению этой работы?» — давалась такая схема:

Рис. 3.5.

После анализа данных по ранее приведенному предписанию, испытуемый определяет время Т путем деления 5 на V. Испытуемому экспериментатор ставил следующие вопросы:

• 1. Что указывает V? (что за час посажено 4 дерева).
• 2. Отметь первые 4 дерева в 5, выдели их!
• 3. За сколько времени они посажены? (за 1 час).
• 4. Выдели еще 4 дерева; сколько еще прошло времени, пока сажали эти 4 дерева? (еще 1 час).
• 5. Отметь эти два часа, изобрази их ниже.
• 6. Выдели еще 4 дерева. На сколько единиц увеличилось время работы? (на 1). Дальше испытуемый продолжал выделять единицы времени самостоятельно; получалась такая схема:

Рис. 3.6.

В последующих 5—6 задачах на нахождение времени данные материализовались с помощью полосок бумаги; задачи были как с числовыми данными, так и без чисел.

Завершающей ступенью материализованного этапа действий было решение задач на абстрактных моделях, без числовых данных или лишь с некоторыми из них. Мы считали это важным для перевода действия в речевую форму. Экспериментатор предлагал испытуемым задания такого типа.

Экспериментатор. Возьми какую-то работу, только изображение! Испытуемый (изображает и обозначает отрезок Б).

Экспериментатор. Допустим, что эта работа выполнена за 6 часов. Испытуемый (изображает 6 часов).

Экспериментатор. Определим, «сколько» за один час выполнено. Испытуемый (делит отрезок Б на 6 равных частей и одну из них обозначает буквой V).

Задачи без числовых данных решались также на нахождение времени и скорости, употреблялись при этом разные модели: отрезки, полоски бумаги. После каждого решения мы требовали выразить совершенное действие формулой.

Следует отметить, что учащиеся очень любили работать с такими задачами и успешно решали их.

Этап предварительного представления об основных понятиях (5, Т, V) и их отношениях и этап материализованных действий потребовали в среднем 10 занятий на испытуемого продолжительностью по 30 минут. На этих занятиях каждый испытуемый решал 20—24 задачи.

На громкоречевом этапе формирования основных величин учащиеся решали задачи на нахождение величин, характеризующих процесс, без использования моделей этих величин и без использования карточки с указанием порядка анализа задачи. Вот как происходил переход на новый этап:

Испытуемый (читает задачу). Расстояние между двумя городами 200 км. Велосипедист проехал это расстояние за 10 часов. Сколько километров проезжал велосипедист за один час? Экспериментатор. Запиши данные.

Испытуемый. А где карточка?

Экспериментатор. Я не взял карточку с собой, так как заметил, что ты и без нее можешь хорошо работать.

Испытуемый. Сейчас… Первое «Кто действует?» — Велосипедист (записывает в тетрадь под номером 1): второе: «Работа — 5» (ищет в задаче), б — 200 км (вписывает): третье: «За сколько времени — Т» (ищет в тексте задачи). У нас 10 час., Т= 10 час.; четвертое: «Сколько за один час?» — Об этом спрашивается; вопросительный знак пишу.

Экспериментатор. Очень хорошо! Повтори задачу по данным.

Испытуемый. Действует велосипедист, он проделал 5 = 200 км за время Т= 10 час.; надо найти скорость.

Экспериментатор. Какую формулу будем применять, чтобы решить задачу? Испытуемый. Формулу V (записывает): У=Б :Т (после этого подставляет числа в формулу и получает результат).

Особую проблему на громкоречевом этапе составил анализ условия задачи. Основные величины, характеризующие процесс, теперь задавались уже не в виде пространственных моделей, а с помощью словесного описания. И было необходимо научить учащихся выделять их в этой форме.

В соответствии с предписанием учащимся предлагалось выделить, кто действует, что он делает, с какой скоростью, в течение какого времени.

После чтения текста задачи учащиеся называли по порядку то, что требует каждый пункт предписания. Экспериментатор предлагал найти это в условии задачи, выделить скобками, написать над данными словами текста соответствующий символ. Если выделенная величина была известна, то символ ставился в кружок из сплошной линии; если же выделенная величина была неизвестна — символ обводился кружком из пунктирной линии. После этого следовала запись выделенных величин (в символах) в тетради.

На этом этапе экспериментатору не надо было повторять предписания по анализу задачи: его содержание было усвоено испытуемыми на материализованном этапе. При решении уже второй задачи на громкоречевом этапе испытуемые выполняли все, что требует предписание, без напоминаний экспериментатора.

Вначале процесс выделения величин в условии задачи шел медленно и в порядке, который был предусмотрен предписанием. В конце этого этапа учащиеся работали гораздо быстрее и более свободно обращались с предписанием, выделяя часто величины в порядке следования их в тексте задачи, а не в предписании.

Экспериментатор на этом этапе выполнял в основном контрольные функции.

Приведем пример решения задачи на этом этапе.

Испытуемая Лена Л. читает задачу: «В 13 часов из города, А в город Б, расположенный в 350 км, отправляется поезд со скоростью 70 км в час. Когда будет поезд в городе Б?».

Испытуемая. Расстояние между городами — 350 км, это 5 (выделяет в тексте и обозначает символом)… со скоростью 70 км в час (выделяет). «Когда будет поезд в городе Б». . спрашивается о времени действия. Это есть Т (обводит пунктирной линией и обозначает символом Т).

Особое внимание мы уделяли точному выделению величин в тексте задачи: неправильное выделение хотя бы одной величины приводит к ошибочному решению задачи. Так, например, в указанной задаче ошибочное выделение… [70 км] в час, ведет к тому, что «70 км» мыслится как 5 вместо V. Всего на громкоречевом этапе решалось каждым испытуемым 12—14 задач, которые потребовали 4 занятия продолжительностью по 30 минут.

Внешнеречевой этап формирования основных величин процесса сочетался с материализованной формой усвоения основных «блоков» общего приема решения задач «на процессы». Эти «блоки» фиксировали основные отношения между «продуктом» процесса, его скоростью и временем протекания.

На предыдущем этапе испытуемые «практически» усвоили, что по любым двум величинам может быть получена третья. На этом этапе эти отношения материализовались в виде схем. Формулы, отражающие эти отношения, показывают не только то, какие величины необходимы для получения искомого, но и способ получения его. На схемах же, материализующих эти отношения, фиксировались только сами величины, а конкретный вид отношений между величинами на схемах не был представлен.

Рис. 3.7.

Эти схемы отношений между Б, V и Г составляют основные «блоки» решения сложных задач «на процессы».

Схемы вводились следующим образом: испытуемому давалась задача на нахождение скорости. После того как испытуемый записал с помощью символов условия задачи, экспериментатор ставил ряд вопросов.

Экспериментатор. О чем спрашивается?

Испытуемый Игорь Б. Спрашивается о V.

Экспериментатор. Что нужно для нахождения V?

Испытуемый. Нужно БиТ.

Экспериментатор. Это можно так изобразить: неизвестное обводим кружочком из пунктирной линии; к нему направляем две стрелки, которые означают, что нам надо найти две «вещи». Какие они?

Испытуемый. БиТ.

Экспериментатор. Обозначь их.

Испытуемый (.обозначает. См. рис. 3.8).

Экспериментатор. Теперь посмотрим, известны ли 5 и Т.

В задаче известно, что 5 равно 400 кг. Известное обведем сплошной линией и рядом запишем его величину. То же самое сделаем по отношению к Г.

Схема приняла такой вид (рис. 3.9).

Экспериментатор. Как узнать V, если известны 5 и 77 Испытуемый. Делим 5 на Т (решает).

Рис. 3.8.

Рис. 3.9.

Учащиеся охотно приняли эти схемы и сразу же стали ими пользоваться.

Они их использовали не только для решения предложенных им задач, но и для составления новых; так, когда мы попросили придумать задачу на нахождение времени протекания какого-нибудь процесса, то большинство испытуемых без всякой рекомендации экспериментатора начали с составления схемы, а потом вписали в нее придуманные данные. Вот как выглядела задача, составленная учащимся Игорем Б. (рис. ЗЛО).

Рис. ЗЛО

Эта схема ставит в центр внимания искомое Г, поэтому после применения схем полностью снялись ошибки, которые до этого делали некоторые испытуемые, придумывая числовые данные и для искомого.

Отношения между «продуктом» процесса, скоростью и временем его протекания, входящими в качестве основных элементов в общий прием решения задач на «процессы», оставались в материализованной форме до конца экспериментального обучения.

Завершающий этап формирования — умственный этап работы с основными величинами — характеризовался тем, что испытуемый только читал задачу или слушал ее, когда она давалась устно, и решал ее в уме. Вот как протекало решение у Веры С.

Экспериментатор. Сколько часов надо держать кран открытым, если нужно вылить 400 л воды, а кран пропускает 50 л в час?

Испытуемая. 400 л воды… 50 л в час… 400 л… надо… всего 8 часов.

Другие испытуемые решали примерно также. Испытуемым были предъявлены задачи с лишними условиями, с недостающими, с разными формами выражения данных (числовой, символической, речевой), предлагались задания придумать задачи на нахождение «продукта» процесса, скорости, времени, а также сравнить два или несколько процессов по одной из характеризующих их величин.

Например: «Два человека выполняют одинаковое задание. У кого скорость больше: кто завершает эту работу за 6 часов или кто завершает за 8 часов?».

Все испытуемые ответили правильно и быстро, что у первого скорость больше. Испытуемые уверенно доказывали правильность своих ответов: они брали отрезок Б и делили его вначале на 6, потом на 8 частей; естественно, что каждая часть (V) оказывается большей в первом случае.

Как и на предыдущих этапах, наблюдалось постепенное сокращение времени выполнения заданий; в течение трех занятий (по 30 минут) каждый ученик выполнил 22—26 заданий.

Быстрота и точность решения и составления задач, основанных на понятиях «продукта» процесса, скорости и времени его протекания, были для нас показателем усвоения этих понятий.

После этого мы считали возможным перейти к задачам «на совместное действие», где несколько участников процесса.