Определение исходного уровня знаний и умений учащихся

Прежде чем приступить к отбору материала, подлежащего усвоению, составлению программы деятельности ученика по его усвоению и реализации этой программы, необходимо выявить реальные возможности обучаемого, установить его исходный уровень знаний и умений.

Определение исходного уровня знаний и умений учащихся, принимавших участие в обучающем эксперименте, проходило по трем направлениям. Во-первых, поскольку экспериментальное обучение проводилось с учащимися, которые, согласно школьной программе по математике, уже знакомились с такими геометрическими преобразованиями, как центральная и осевая симметрия, то до начала обучения было необходимо проверить степень осведомленности учащихся в этом материале. Во-вторых, устанавливалось наличие у них тех математических знаний и умений, которые были необходимы для усвоения новых знаний и умений. Так, у испытуемых проверялось знание начальных геометрических понятий, их свойств, умение пользоваться циркулем, линейкой, угольником. В-третьих, проверялось, располагают ли учащиеся теми познавательными действиями, которые будут использоваться в качестве средств усвоения новых знаний. В частности, устанавливалось, могут ли учащиеся пользоваться действием распознавания как средством усвоения понятий.

Для выявления исходного уровня знаний и умений по всем трем указанным направлениям испытуемым предлагалась контрольная работа, состоящая из 11 заданий. Задания были разбиты на две группы: первая группа (5 заданий) — задания, предусматривающие проверку знаний необходимых и достаточных признаков фигур (треугольник, отрезок, точка и т. д.), симметричных относительно точки (оси), и умения пользоваться действием распознавания; вторая группа (6 заданий) — задания, предназначенные для проверки умения выполнять преобразования фигур с помощью осевой и центральной симметрии, знания свойств этих преобразований. Выполнение заданий как первой, так и второй группы одновременно означало также проверку знания начальных геометрических понятий, их свойств, умения пользоваться чертежными инструментами — линейкой, угольником, циркулем.

При выполнении каждого из одиннадцати заданий внимание обращалось не только на конечный результат, но и на то, как ученик решал эту задачу, на что при этом ориентировался. Учитывалось также, может ли он обосновать выполняемые действия.

Для проверки знания признаков понятий центральносимметричных фигур и фигур, симметричных относительно оси, а также для установления, располагают ли испытуемые действием распознавания как средством усвоения понятий, давались задания двух видов: а) задания, в которых признаки проверяемых понятий были представлены в опосредованном виде; б) задания, в которых признаки были заданы в явном виде.

К первому виду заданий относятся задания 1 и 2.

Задание 1. «В параллелограмме СОИ⁷ диагонали СЕ и ПВ пересекаются в точке О. Симметричны ли точки О и О относительно точки О? Симметричны ли точки О и В относительно прямой СЕ? Запишите подробно ответ» (чертеж не давался).

Задание 2. «Дана окружность с центром в точке О; АВ и МЫ — два различных диаметра этой окружности. Подробно запишите свой ответ на следующие три вопроса: 1. Будут ли точки А и В симметричными относительно точки О? 2. Будут ли точки Л и В симметричными относительно прямой МЫ? 3. При каком взаимном расположении диаметров АВ и МЫ данной окружности отрезки ОА и ОВ можно назвать симметричными относительно прямой МЫ?» (чертеж не давался).

Ко второму виду относятся, например, задания 3 и 4.

Задание 3. «Даны прямая Е, две точки С и С, расположенные по разные стороны от этой прямой, и точка О, принадлежащая прямой Z. Известно, что ОС = ОС и отрезок СО перпендикулярен прямой I. Можно ли точки С и С' назвать симметричными относительно данной прямой I?» (чертеж не давался).

Задание 4. «Симметричны ли друг другу изображенные на чертеже треугольники АВС и ММ³ относительно прямой? Е, если известно, что прямая ?? перпендикулярна каждому из отрезков АМ, ВР и СЛГ и делит эти отрезки пополам?» К задаче давался следующий чертеж:

Рис. 5.1.

Порядок предъявления заданий был следующим: вначале давались задания первого вида, затем — задания второго вида. При этом мы исходили из того, что если испытуемый правильно выполняет задания, в которых признаки понятий заданы в опосредованном виде (под правильным выполнением мы понимаем не только наличие безошибочного ответа, но и его полную аргументацию), то это свидетельствует о сформированности у него понятий фигур, симметричных относительно точки (оси) и действия распознавания, и тогда выполнение заданий второго вида становятся не столь необходимым. Если же задания первого вида вызывают у ученика затруднения, то ему предлагаются задачи, в которых признаку понятий заданы в явном виде, и сформированность интересующих нас знаний и умений проверяется в ходе решения этих задач.

Результаты выполнения первой группы заданий представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Как видно из табл. 5.1, процент правильно выполненных заданий очень низкий. Так, при выполнении вышеприведенного задания 1 из 50 испытуемых только 4 (8%) человека дали безошибочный и аргументированный ответ на первый вопрос задачи и трое (6%) — на второй вопрос, причем двое из них были испытуемые, правильно ответившие на первый вопрос. Ответы остальных учеников или не содержали ошибок, но отсутствовало их обоснование, или были неправильными. Часть учащихся отказалась выполнять задание, мотивируя свой отказ тем, что они «забыли», «не помнят».

Неправильные ответы учащихся могли быть за счет неполноценного усвоения ранее изучаемого математического материала, например незнания свойства диагоналей параллелограмма: «Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам». Но, как показали ответы учащихся на дополнительные вопросы, почти все испытуемые знали это свойство, однако они не обнаруживали связи между ним и понятием центрально-симметричных точек. Когда испытуемым была указана эта связь, некоторые из них откровенно заявили: «Нам и в голову не приходило, что точки О и К можно рассматривать не только как вершины параллелограмма, но и как точки, симметричные относительно точки О».

Характерная ошибка при ответе на второй вопрос задачи 1 состояла в том, что учащиеся на основании только свойства диагоналей параллелограмма делали неправильный вывод о симметричности точек В и К относительно прямой СЕ. Испытуемые, давая такой ответ, учитывали только один существенный признак понятия точек, симметричных относительно оси, а именно, равенство расстояний от точек О и К до оси СЕ. Другие существенные признаки этого понятия (по разные стороны от оси, на одном перпендикуляре к оси) ими не учитывались. Это говорит о несформированности у учащихся всей совокупности необходимых и достаточных признаков понятия точек, симметричных относительно оси.

Результаты выполнения задания 2 также низкие: на первый вопрос задачи правильно ответило 5 учащихся (10%); при ответе на второй вопрос задачи ни один из учащихся не сделал правильного вывода («неизвестно») о симметричности точек А и В относительно оси ММ; ни одного правильного ответа не было при ответе и на третий вопрос задачи. Анализ письменных ответов на второй и третий вопросы, а также беседы с учащимися показали, что при ответе на второй вопрос испытуемые рассматривали в основном только одно из возможных взаимных расположений диаметров АВ и ММ, а именно тот случай, когда диаметр АВ перпендикулярен ММ. Поэтому 6 человек написали, что точки Л и В будут симметричными относительно прямой ММ, но не дали никакого обоснования своего ответа. При беседе с этими учениками трое из них дали полную аргументацию ответа; «обоснования» других трех учеников сводились к тому, что заданное положение точек Л и В «похоже на то, какое проходили». Отвечая на третий вопрос, испытуемые писали: «Нельзя найти такого положения диаметров АВ и ММ, чтобы отрезки ОЛ и ОВ были симметричными»; были ответы и такого рода: «Мы этого не проходили».

Аналогичную картину мы наблюдали, анализируя результаты выполнения задания 3: только один испытуемый (2%) правильно ответил на вопрос задания: «Здесь нельзя ответить ни да, ни нет, для этого надо знать, будет ли отрезок СО перпендикулярен МЫ». Остальные испытуемые выполнили задание 3 неправильно. Среди ответов был всего лишь один отрицательный, что свидетельствует о том, что у остальных учащихся даже не возникло мысли, что при положении точек С и С, заданном в условии, эти точки не могут быть не симметричными относительно прямой МЫ. Поэтому из 50 испытуемых 48 при ответе на вопрос задания 4 написали: «Да», а некоторые пытались аргументировать свой ответ тем, что «отрезки ОС и ОС равны». Такого рода объяснения учащихся говорят о непонимании ими того, какие признаки являются существенными для понятия точек, симметричных относительно оси. При ответах испытуемые ориентировались только на один признак этого понятия, а другие необходимые и достаточные признаки принадлежности к понятию (по разные стороны от оси, на одном перпендикуляре к оси), ими не учитывались. Правильный ответ («неизвестно») в таких заданиях возможен только в том случае, если ориентировка учащихся осуществляется на всю совокупность существенных признаков.

Выводы испытуемых при выполнении заданий 1, 2, 3, а также при ответе на вопросы других заданий первой группы сделаны на основании совокупности признаков, недостаточных для установления принадлежности к понятию фигур, симметричных относительно точки (оси). Это свидетельствует о плохом усвоении учащимися действия распознавания: ориентировка учащихся на отдельные признаки понятий говорит о неразумности выполнения этого действия, а неумение обосновать свои ответы — о неосознанности его.

При выполнении задания 4 все испытуемые пытались определить симметричность треугольников АВС и МЫР относительно прямой ЕР при помощи «перегибания листа бумаги», и никто не ориентировался на данные условия, исходя из которых можно было сразу дать положительный ответ, не прибегая к перегибанию.

Задание 4 было предложено учащимся после задания 3, в котором говорилось о симметричности точек относительно оси. У нас была опасность, что ответ на вопрос задания 3 будет своеобразной подсказкой для выполнения задания 4. Но, как показали результаты, понятия точек и треугольников, симметричных относительно оси, выступают для учащихся обособленно, никакой связи между ними испытуемые не обнаруживали. Если при выполнении задания 3 ученики пытались вспомнить совокупность признаков понятия точек, симметричных относительно оси, то, отвечая на вопрос задания 4, испытуемые забывали об этом понятии и судили о симметричности треугольников на основании их совпадения при перегибании чертежа по оси симметрии. Это говорит о несформированности у учащихся понятия фигур, симметричных друг другу относительно оси, как о таких фигурах, одна из которых образована точками, симметричными точкам другой фигуры относительно данной оси.

Применяя способ «перегибания», многие учащиеся не были уверены в своих ответах; они писали: «Кажется эти треугольники будут симметричными. Надо перегнуть лист по ЕЕ. Но здесь трудно это сделать, так как один треугольник заходит на другой». Такие ответы вызваны тем, что данное на чертеже положение симметричных друг другу треугольников «не похоже» на то, к которому «привыкли» ученики, изучая осевую симметрию в школе. В школьных курсах геометрии, где при изучении осевой симметрии большое внимание уделяется «перегибанию листа бумаги», среди многочисленных примеров (с рыбами, кляксами, листьями), на которых показывается этот способ, нет такого, в котором каждая из симметричных друг другу (но не самой себе) фигур лежала бы по обе стороны оси симметрии (как указано на чертеже к задаче 4). Неумение испытуемых применять способ перегибания при различных взаимных расположениях преобразуемой фигуры и оси симметрии указывает на его необобщенность. Следует при этом добавить, что сам по себе этот способ имеет ограниченное применение при решении задач на построение и доказательстве теорем.

Надо отметить, что чертежи ни к одному из заданий первой группы (за исключением задания 4) не давались и для их выполнения они не были необходимы. Но многие испытуемые просили разрешить сделать чертеж, объясняя это тем, что «заданную только словами задачу решать труднее, а с чертежом легче». Некоторые испытуемые говорили, что они «вспоминают чертеж», данный в учебнике, сравнивают со своим, а потом пишут ответ.

Использование чертежей при выполнении заданий несколько повысило процент правильных ответов. Так, после выполнения чертежа к заданию 2 двое испытуемых сделали правильный вывод («неизвестно») о симметричности точек А и В относительно прямой МЫ. При этом они начертили несколько вариантов взаимного расположения двух диаметров АВ и МЫ данной окружности и исходя из чертежей правильно ответили на второй вопрос задачи. Основная масса испытуемых выполнила чертеж, на котором диагонали были взаимно перпендикулярными, и, следовательно, их утвердительный ответ на этот вопрос задачи был неправильным: выводы они делали, ориентируясь не на словесно заданное условие задачи, а только на выполненный ими чертеж. Это свидетельствует о низком уровне усвоения учащимися понятия фигур, симметричных относительно точки (оси). Во-первых, деятельность учащихся по применению этого понятия ограничена только материальной формой: испытуемые, прежде чем ответить на вопрос о принадлежности заданного объекта к понятию, обязательно выполняли соответствующий чертеж. Во-вторых, отсутствовало обобщение этой деятельности: учащиеся на выполненных ими чертежах старались найти такое положение фигур, симметричных относительно точки (оси), которое было бы «похоже» на положение, данное в школьном учебнике геометрии.

Таким образом, результаты выполнения заданий первой группы показали, что проверяемые с их помощью знания и умения оказались у наших испытуемых несформированными.

Для проверки степени сформированности умения выполнять преобразования фигур с помощью осевой и центральной симметрии учащимся предлагались задания, в которых требовалось построить фигуру (отрезок, треугольник, параллелограмм, окружность, фигуру, ограниченную замкнутой кривой линией), симметричную данной относительно центра (оси). Положение центра (оси) по отношению к преобразуемой фигуре было различным: 1. Центр располагался во внутренней области преобразуемой фигуры (ось пересекала внутреннюю область). При этом объектом, относительно которого ведется преобразование, служил или один из основных элементов преобразуемой фигуры (вершина угла, центр окружности, сторона многоугольника и т. д.), или какой-то другой ее элемент (точка пересечения медиан, биссектриса одного из углов, диаметр окружности и т. д.). 2. Центр (ось) была расположена во внешней области преобразуемой фигуры. Например, давались задания следующего типа.

Задание 6. «На плоскости дан параллелограмм АВСБ. Построить параллелограмм, симметричный данному относительно середины Е стороны СБ. Запишите, какая фигура получилась в результате преобразования и почему?».

Или такое, как задание 10: «На плоскости дана геометрическая фигура К, ограниченная замкнутой кривой линией, и прямая МЫ вне фигуры Е Построить фигуру, симметричную данной относительно прямой МЫ».

Результаты выполнения второй группы заданий представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Как видно из табл. 5.2, результаты выполнения заданий второй группы несколько выше результатов выполнения заданий первой группы (см. табл. 5.1). Это объясняется тем, что в школе при изучении осевой и центральной симметрий основное внимание уделяется исполнительной части действия по выполнению преобразований.

Чтобы выявить, на какие условия ориентируются ученики при выполнении преобразований, т. е., чтобы проверить степень сформированное™ у них ориентировочной основы этого действия, после выполнения всех заданий на построение им было предложено ответить на ряд вопросов, среди которых были такие:

• 1. Можно ли выполнить преобразование всей фигуры, если известно, как выполнить преобразование ее одной точки?
• 2. Почему при преобразовании отрезка с помощью симметрии относительно оси из концов отрезка надо опускать перпендикуляры на ось?
• 3. Почему при построении отрезков, симметричных относительно центра, вы строите точки, симметричные только концам отрезка? и т. д.

Несмотря на то, что значительная часть учащихся правильно построила фигуры, симметричные данным относительно центра (оси), никто из них не ответил правильно на все поставленные вопросы, что свидетельствует о недостаточной сформированное™ у них ориентировочной основы действий по выполнению преобразований — осевой и центральной симметрий. Это говорит о том, что учащиеся часто выполняют преобразования механически, не понимая смысла совершаемых операций; действия учащихся не обладают должной разумностью, необходимой сознательностью.

Несформированностью ориентировочной основы действия по выполнению преобразований можно объяснить и те типичные ошибки, которые совершали испытуемые при выполнении заданий второй группы. Так, при построении фигуры, симметричной данной относительно оси, они соединяли определяющие точки фигуры с осью не по перпендикуляру, а по наклонной. Кроме того, затруднения вызывали задачи, в которых центр (ось) совпадал с одним из элементов преобразуемой фигуры. Так, при построении окружности, симметричной данной относительно ее диаметра, только пять учеников правильно выполнили построение, указав, что данная и симметричная ей фигуры совпадают, т. е. окружность в этом случае переходит сама в себя. Аналогичными были результаты выполнения задания 7: «В равностороннем треугольнике МЫК проведена высота МЕ. Построить треугольник, симметричный данному относительно прямой МЕ. Запишите, какой треугольник получился в результате построения и почему?» Среди ответов учащихся (за исключением 6) мы не нашли таких, в которых было бы указано, что данный треугольник преобразовался сам в себя, что в результате преобразования получается снова равносторонний треугольник.

Неумение учащихся объяснить свои построения были связаны как с несформированностью ориентировочной основы действия по выполнению осевой и центральной симметрий, так и просто с незнанием свойств этих преобразований. Например, при выполнении задания 7.

учащиеся не могли объяснить, почему точка М, которая принадлежит высоте МЕ — оси симметрии равностороннего треугольника МЫК — в результате преобразования не изменила своего положения, почему отрезок после выполнения преобразования совпал с отрезком МК.

Выполняя задание 6, учащиеся не знали, почему полученная в результате преобразования фигура будет параллелограммом. Далее, испытуемые не знали такого свойства осевой симметрии, как изменение ориентации фигур в результате этого преобразования.

Были сопоставлены результаты выполнения учащимися заданий на знание понятий фигур, симметричных относительно центра (оси) (задания первой группы), с результатами выполнения этими же учащимися заданий на преобразование фигур (задания второй группы). Оказалось, что некоторые учащиеся, давая правильное определение фигуры (отрезка, многоугольника и т. д.), симметричной относительно центра (оси), не справились с заданиями на преобразование этих фигур с помощью центральной (осевой) симметрии; и наоборот, некоторые учащиеся, давая некорректное определение, правильно выполнили построение. Это еще раз подтверждает несформированность у учащихся ориентировочной основы действия по выполнению преобразований: учащиеся механически заучивают отдельно определение фигур, симметричных относительно центра (оси), и способ преобразования этих фигур, не связывая их друг с другом.

Таким образом, результаты выполнения заданий второй группы дают основания считать, что, во-первых, у учащихся не была сформирована ориентировочная основа действия по выполнению преобразований осевой и центральной симметрии; во-вторых, свойства этих преобразований не были усвоены учащимися в должном объеме и качестве; а те свойства, которые они знали, не выступали для них как средство, способствующее не только правильному выполнению заданий, но и помогающее понять и объяснить это выполнение.

Как было указано выше, выполнение заданий первой и второй групп означало одновременно и проверку знаний начальных геометрических понятий, их свойств, умения пользоваться чертежными инструментами для геометрических построений (угольником, линейкой, циркулем). Итоги выполнения заданий показали, что учащиеся владеют этим материалом в том объеме, который необходим для усвоения намеченных нами новых знаний и умений. Исключение составило понятие расстояния между фигурами, а также понятие ориентации фигур, поэтому этот материал был включен в обучающий эксперимент в качестве предварительного и был сделан предметом специального усвоения.

Таким образом, результаты выполнения проверочных заданий показали, что несмотря на то, что осевая и центральная симметрия изучались учащимися, отобранными для экспериментального обучения, соответствующие знания и умения не были у них удовлетворительными, поэтому мы могли их включить в обучающий эксперимент.