Гипергеометрическое распределение. 
Статистика с элементами эконометрики

Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объема N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком А, либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина У, равная числу объектов, обладающих признаком А в случайной выборке объема п, где п < N. Например, число У дефектных единиц продукции в случайной выборке объема п из партии объема N имеет гипергеометрическое распределение, если п < N. Другой пример — лотерея. Пусть признак А билета — это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов N, а некоторое лицо приобрело п из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение.

Таким образом, если в партии из N изделий имеется М стандартных (М < АО и из партии случайно отбирают п изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию, то формула Бернулли здесь не применима.

Обозначив через X случайную величину — число т стандартных изделий среди п отобранных (возможными значениями X.

будут 0, 1, 2… min (М, п)), используя классическое определение вероятности, получаем, что вероятность того, что среди п отобранных изделий ровно т стандартных будет равна.

Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:

где т = 0, 1, 2, min (M, п).

Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами — объемом генеральной совокупности N, числом объектов М в ней, обладающих рассматриваемым признаком т, и объемом выборки п.

Функция вероятности гипергеометрического распределения представлена на рис. 9.21.

Рис. 9.21. Функция вероятности гипергеометрического распределения при N = 60, М = 20.

Рассмотрим определение вероятности при гипергеометрическом распределении. Среди 50 анкет 20 заполнены лицами с высшим образованием. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 анкет окажется ровно 3 заполненных лицами с высшим образованием. По условию, Х = 50, М = 20, п = 5, т — 3. Искомая вероятность равна.

В статистических методах управления качеством продукции подлежащим оцениванию параметром гинергеометрического распределения является число дефектных единиц продукции в партии (?)) выборки (п) из генеральной совокупности (М). Поэтому характеристикой гипергеометрического распределения является уровень дефектности (О/М).