Понятие о методе статистических испытаний (методе Монте-Карло)

Основное допущение, при котором анализировались рассмотренные выше СМО, состоит в том, что все потоки событий, переводящие их из состояния в состояние, были простейшими. При нарушении этого требования общих аналитических методов для таких систем не существует. Имеются лишь отдельные результаты, позволяющие выразить в аналитическом виде характеристики СМО через параметры задачи.

В случае, когда для анализа работы СМО аналитические методы неприменимы (или же требуется проверить их точность), используют универсальный метод статистических испытаний, или, как его называют, метод Монте-Карло. Название «метод Монте-Карло» связано с тем, что одним из возможных способов имитации случайных явлений является рулетка, игрой в которую знаменит город Монте-Карло.

Для уяснения сути метода Монте-Карло рассмотрим задачу о вычислении определенного интеграла.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл где/(х) —.

непрерывная на отрезке 10; 1 ] элементарная функция, причем 0 </(.х) < 1. Задача носит достаточно общий характер, так как к данному интегралу путем соответствующих линейных подстановок (замен) может быть сведен любой интеграл

Геометрически интеграл , представляет собой площадь области.

5 под кривой у = /(х) (рис. 7.11).

Будем многократно повторять опыт, состоящий в бросании наудачу точки в единичный квадрат.

Рис. 7.11.

Используя геометрическое определение вероятности (параграф 1.4), вероятность события А — попадания брошенной случайной точки в область 5 — есть отношение площади области 5¹ к площади квадрата, т. е.

В соответствии с теоремой Бернулли при достаточно большом числе опытов 7? в качестве оценки искомой вероятности р (А) следует взять частость т/п, которая и будет являться приближенным значением интеграла по результатам случайных испытаний.

Отличительная особенность применения метода Монте-Карло состоит в том, что границы, в которых будет заключено истинное значение неизвестной величины (в данной задаче — вычисляемого интеграла), мы можем указать не точно, а лишь с некоторой вероятностью, называемой доверительной:.

Конечно, при реализации метода Монте-Карло не требуется проведения реальных опытов, но бросанию случайной точки в квадрат (или, например, в других задачах — но бросанию монеты, игральной кости и т. п.). Для этой цели служат специальные компьютерные программы или датчики случайных чисел (точнее «псевдослучайных» чисел, ибо последние не в полной мере удовлетворяют требованию случайности).

Применение метода Монте-Карло в системах массового обслуживания состоит в том, что вместо аналитического описания СМО проводится «розыгрыш» случайного процесса, проходящего в СМО, с помощью специально организованной процедуры. В результате такого «розыгрыша» получается каждый раз новая, отличная от других реализация случайного процесса. (Реализации случайного процесса называются статистическими испытаниями — отсюда и второе название метода.) Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который обрабатывается обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены приближенно любые характеристики обслуживания.

При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования. Для сложных систем обслуживания с немарковским случайным процессом метод статистических испытаний, как правило, оказывается проще аналитического, а часто и вовсе единственно возможным.

В данной главе мы ограничились рассмотрением СМО с отказами. С другими системами массового обслуживания, например СМО с ожиданием (одноканальными и многоканальными, с ограниченным и неограниченным временем ожидания и др.), можно ознакомиться, например, в пособии 1161.