Геометрическое распределение. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0 <�р < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления q-X-p. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k-X испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями X являются натуральные числа: х_х = Х, х₂ = 2,…

Пусть в первых k-X испытаниях событие Л не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,.

Полагая & = 1, 2,… в формуле (*), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0 < q < X):

По этой причине распределение (*) называют геометрическим.

Легко убедиться, что ряд (**) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (**).

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Р е ш е и и е. По условию, р = 0,6; q = 0,4; к = 3. Искомая вероятность по формуле (*)