Функция надежности. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀ = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Тнепрерывную случайную величину — длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F (t) = P (T определяет вероятность отказа за время длительностью L Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью U т. е. вероятность противоположного события Т> t, равна

Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t:

Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого.

Следовательно, в силу соотношения (*) предыдущего параграфа функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством.

где X — интенсивность отказов.

Как следует из определения функции надежности (см. § 4), эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t_y если время безотказной работы имеет показательное распределение.

Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону /(?) = 0,02е~⁰⁰²' при t > 0 (t — время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Р е ш е и и е. По условию, постоянная интенсивность отказов X = 0,02. Воспользуемся формулой (*):

Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,14.

Замечание. Если отказы элементов в случайные моменты времени образуют простейший поток, то вероятность того, что за время длительностью t не наступит ни одного отказа (см. гл. 6, § 6),.

что согласуется с равенством (*), поскольку X в обеих формулах имеет один и тот же смысл (постоянная интенсивность отказов).