Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть в двух генеральных совокупностях производятся независимые испытания; в результате каждого испытания событие А может появиться либо не появиться.

Обозначим неизвестную вероятность появления события А в первой совокупности через p_v а во второй — через р_г Допустим, что в первой совокупности произведено п_л испытаний (извлечена выборка объема п_л), причем событие Л наблюдалось т_л раз. Следовательно, относительная частота появления события в первой совокупности.

Допустим, что во второй совокупности произведено п₂ испытаний (извлечена выборка объема /?.,), причем событие Л наблюдалось 7и₂раз. Следовательно, относительная частота появления события во второй совокупности.

Примем наблюдавшиеся относительные частоты в качестве оценок неизвестных вероятностей появления события Л: р_{ -w_v р₂ — w₂. Требуется при заданном уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что вероятности р_{ и р₂ равны между собой:

Заметим, что, поскольку вероятности оцениваются по относительным частотам, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо различаются относительные частоты w_t и w_T

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину.

Величина U при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально с параметрами М (1Т) = 0 и o (U) = 1 (см. далее пояснение). В формуле (*) вероятностьр неизвестна, поэтому заменим ее оценкой наибольшего правдоподобия (см. гл. 16, § 21, пример 2):

кроме того, заменим случайные величины М и М₂ их возможными значениями т_{ и т_у полученными в испытаниях. В итоге получим рабочую формулу для вычисления наблюдаемого значения критерия:

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы так же, как в § 10, поэтому ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Н₀: р, =р₂ =р о равенстве вероятностей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющих биномиальные распределения) при конкурирующей гипотезе Н_]:р₁ Фр₂, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку и_кр по равенству Ф (и_кр) = (1 — а)/2.

Если | U_la6n | < ы_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если I U, I > и — нулевую гипотезу отвергают.

¹ иаол¹ кр ^{J J} j i.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Я: р, > р₂ находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф (м_кр) = (1 — а)/2.

Если I U, I < и — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

¹ набл¹ кр i j j j j

Если IU, I > и — нулевую гипотезу отвергают.

¹ набл ¹ кр ^{J J} j г Правило 3. При конкурирующей гипотезе Я: р, <�р₂ находят критическую точку и ._р по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области м'_р = -и_кр.

Если U, > -и — нет оснований отвергнуть нулевую гипо;

наол кр 1 j j j.

тезу.

Если [/_набл < -и_щ) — нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из первой партии изделий извлечена выборка объема я, = 1000 изделий, причем ти, = 20 изделий оказались бракованными; из второй партии извлечена выборка объема п₂ = 900, причем т₂ = 30 изделий оказались бракованными. При уровне значимости, а = 0,05 проверить нулевую гипотезу #₍₎:р₁=р.₎=р о равенстве вероятностей появления брака в обеих партиях при конкурирующей гипотезе Н_[р_{Фр₂.

Р е ш е и и с. По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид р_х Ф р₂, поэтому критическая область — двусторонняя.

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Подставив данные задачи и выполнив вычисления, получим U _в = = -1,81.

Найдем критическую точку:

Но таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим м_кр = 1,96.

Так как | {/_ибл | < м_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, вероятности получения брака в обеих партиях различаются незначимо.

Замечание. Для увеличения точности расчета вводят так называемую поправку па непрерывность, а именно вычисляют наблюдаемое значение критерия по формуле.

В рассмотренном примере по этой формуле получим | ?/_иабл| = 1,96. Поскольку и и_к]) = 1,96, необходимо провести дополнительные испытания, причем целесообразно увеличить объем выборок.

Пояснение. Случайные величины М, и М₂ распределены по биномиальному закону; при достаточно большом объеме выборок их можно считать приближенно нормальными (практически должно выполняться неравенство npq > 9), следовательно, и разность U' = М_х/п_{ — М₂/п₂ распределена приближенно нормально.

Для нормирования случайной величины U' надо вычесть из нее математическое ожидание M (U') и разделить результат на среднее квадратическое отклонение o (U').

Покажем, чтоM (U') = 0. Действительно, М (М_{) — n_ip_l (см. гл. 7, § 5, замечание); при справедливости нулевой гипотезы (р_х =р₂=р) М (М_{) = п_{р и аналогично М (М₂) = п₂р. Следовательно,.

Покажем, что среднее квадратическое отклонение.

Действительно, дисперсия (см. гл. 8, § 6, замечание); при справедливости нулевой гипотезы (p_t=p₂=p) D (M_t) = = п_лр ( 1 -р) и аналогично D (M.₂) = п.₂р{ 1 -р). Следовательно,.

Отсюда среднее квадратическое отклонение.

Итак, случайная величина U = (и' - М{и'))/а (и') (см. формулу (*)) нормирована и поэтому M (U) = 0 и o (U) = 1.